Encontre o volume máximo de uma caixa retangular que está inscrita em uma esfera de raio r.

1. Equação da esfera: x² + y² + z² = r²

2. Todos os vértices do retângulo devem estar presentes na esfera

 3. Volume do retângulo: V = (2x)(2y)(2z)

             z = √(r² - x² - y²)

           2z = 2√(r² - x² - y²)    (I)

4. Substituindo (I) no volume:

            V = (2x)(2y)(2√(r² - x² - y²)) (II)

5. Encontrando derivadas parciais em relação a x e a y:

            Vx = (8y(r² - 2x² - y²))/√(r² - x² - y²)

            Vy = (8x(r² - x² - 2y²))/√(r² - x² - y²)

6. Igualando as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:

            –Para Vx:

            0 = 8y(r² - 2x² - y²)

            y = 0 (Não considerado, pois y > 0) ou r² = 2x² + y² (III)

            –Para Vy:

            0 = 8x(r² - x² - 2y²)

            x = 0 (Não considerado, pois x > 0) ou r² = x² + 2y² (IV)

7. Comparando (III) e (IV):

            2x² + y² = x² + 2y²

            x² = y² (V)

8. Substituindo (V) em (III) ou em (IV), temos:

            3x² = r²

            x = y = r/√3 (Único ponto crítico do problema e, consequentemente, ponto de máximo)

9. Encontrando o volume no ponto (r/√3, r/√3) através da equação (II):

            V(r/√3, r/√3) = 8r³/3√3

Por que o volume do retangulo é 2x2y2x e não xyz?

Vínicius, muito obrigado. Me perdi em uma das equações e acabei não conseguindo a mesma resposta. Valeu pela ajuda!