Álgebra linear

Mostrar que dois  vetores são LD, o que se generaliza facilmente para um numero n qualquer equivale a mostrar que existe uma combinação linear que gera o vetor nulo, além da combinação trivial (os escalares são iguais a zero); no caso especial de dois vetores, se eles são múltiplos entre si (tem suas coordenadas satisfazendo a/c=b/d) então quer dizer que eles são linearmente dependentes; se ad-bc=/=0 o sistema 2x2 formado para gerar o vetor nulo através de uma combinação linear admite solução única(pense na regra de cramer); como todo sistema homogêneo admite a solução trivial, se a solução é única então só pode ser a trivial, de forma que os vetores são assim LI, por definição.

Tem muitas maneiras de ver isso, qualquer dúvida mande mensagem.

Bons estudos.

A prova advém das propriedades de determinantes, pois:

\(ad - bc = det \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}\)

Se a primeira linha é proporcional à segunda o determinante é nulo. Essa é a própria definição de vetores LD no \(\mathbb{R^2}\), ou seja:

\((a,b) = \alpha (c,d), \ \alpha \neq 0\)

Em caso contrário, os vetores serão LI.