Integral

pra parte interna do seno, vc substtui por u, e para du vc troca por -(3*x^1/2)/2,

ficando sua integral assim

-2/3∫sen²(u)du

reescreva a integral

-2/3∫(1/2-1/2*cos(2u)du

agora faça integração por partes

1/3∫cos(2u)du-1/3∫1du

faça mais uma substituição, onde s=2u e ds=2du 

1/6∫cos(s)ds-1/3∫1du

agora temos que a integral de cos(s) é sen(s),e que a integral de 1 é u entao substitutimos

sen(s)/6-u/3+C

agora substituimos os termos novamente, e temos a integral completa

1/6*sen(2-2x^3/2)+1/3(3^3/2-1)

Nesse exercício vamos estudar o método de substituição para integração.

Vamos calcular a seguinte integral:

$$I=\int x^{1/2}\sin^2(x^{3/2}-1)dx$$

Façamos $u= x^{3/2}-1\Rightarrow du=\dfrac32x^{1/2}dx$:

$$I=\dfrac23\int \sin^2(x^{3/2}-1) \dfrac32x^{1/2}dx=\dfrac23\int \sin^2u du$$

Lembre-se agora da expressão do cosseno do arco duplo:

$$\cos 2u=\cos^2u-\sin^2u=1-2\sin^2u\Rightarrow \sin^2u =\dfrac{1-\cos2u}{2}$$

Substituindo na integral, temos:

$$I =\dfrac23\int \dfrac{1-\cos2u}{2} du=\dfrac13\left(\int du-\int \cos2u du \right)$$

Ambas são integrais fundamentais:

$$I =\dfrac13\left(u-\dfrac12\sin2u \right)$$

Basta agora voltarmos à variável original:

$$\boxed{\int x^{1/2}\sin^2(x^{3/2}-1)dx =\dfrac13\left(x^{3/2}-1-\dfrac12\sin2(x^{3/2}-1) \right)}$$