Grátis: Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro re... – Questões Respondidas

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Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o conceito de curva de nível.
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
A Uma curva de nível é um subconjunto do espaço R².
B Chama-se curva de nível o conjunto de todas as temas (x,y,z) tais que z = f(x,y).
C As curvas de nível representam cortes verticais feitos no gráfico da função.
D Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes.
E Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.

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Vamos analisar cada uma das alternativas sobre as curvas de nível: A) Uma curva de nível é um subconjunto do espaço R². - Esta afirmação está incorreta, pois uma curva de nível é um subconjunto do plano, mas não do espaço tridimensional R². B) Chama-se curva de nível o conjunto de todas as temas (x,y,z) tais que z = f(x,y). - Esta afirmação está incorreta, pois a curva de nível é definida para um valor fixo de z, ou seja, é o conjunto de pontos (x,y) tal que f(x,y) = k, onde k é uma constante. C) As curvas de nível representam cortes verticais feitos no gráfico da função. - Esta afirmação está incorreta, pois as curvas de nível representam cortes horizontais no gráfico da função, não verticais. D) Todos os pontos localizados em uma curva de nível possuem alturas diferentes. - Esta afirmação está incorreta, pois todos os pontos em uma curva de nível têm a mesma altura (valor de z). E) Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno. - Esta afirmação está correta, pois as curvas de nível são frequentemente referidas como mapas de contorno, pois mostram a variação de uma função em um plano. Portanto, a alternativa correta é: E) Uma curva de nível também pode ser chamada de mapa de contorno.

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O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o domínio corresponde a todos os valores que não zeram o denominador.
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
I. O domínio da função f(y) = yx* + y² - 1 é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; x² + y² = 1).
II. O domínio da função f(x,y) = 2xy² + xy - 2x é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R; x = y}.
III. O domínio da função f é o conjunto Dom(f) = {(x, y) ∈ R²; x = y).
IV. O domínio da função F(x,y) = 2² + y² é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; x,y ∈ R}.
A I
B I, III
C I, II
D I, II, III
E I, II, III, IV

Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas variáveis f(x,y), temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o conjunto de pares ordenados (x,y) pertencentes ao plano R² que satisfazem a lei de formação da função f. Assim, para determinar o domínio da função f(x,y), precisamos verificar se não há restrições para os valores que x e y podem assumir.
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
A O domínio da função f(x,y) = x + y é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; x > -y}.
B O domínio da função f(x,y) = 2x + y é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; x,y ∈ R}.
C O domínio da função f(x,y) = 3x + y é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; y = 1}.
D O domínio da função f(x,y) = x² + y + 1 é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; y = 1}.
E O domínio da função f(x,y) = 2xy é o conjunto Dom(f) = {(x,y) ∈ R²; x = 0}.

Chamamos de curva de nível da função f o conjunto de todos os pares (x,y) pertencentes ao domínio de f tais que f(x,y) = c onde c é uma constante real. Utilizamos as curvas de nível para visualizar geometricamente o comportamento de uma função de duas variáveis.
Com relação às curvas de nível, assinale a alternativa correta.
A A equação 2x - y - 2 = 0 é uma curva de nível para a função f(x,y) = 2x - y + 1 para c = 3.
B A equação 3x + y = 0 é uma curva de nível para a função f(x,y) = 3x + y - 2 para c = 2.
C A equação x² + y² = 0 é uma curva de nível para a função f(x,y) = x² - y para c = 0.
D A equação -x² - y² = 8 é uma curva de nível para a função f(x,y) = √(1 - x - y) para c = 1.
E A equação x² + y + 6 = 0 é uma curva de nível para a função f(x,y) = x² + y² - 2 para c = 4.

Considere a função de duas variáveis f(x,y), tal que as variáveis x e y são funções das variáveis t e s, isto é, x = x(t,s) e y = y(t,s). A derivada da função f(x(t,s), y(t,s)) com relação a variável t é obtida por meio da regra da cadeia expressa por ∂f/∂t = ∂f/∂x * ∂x/∂t + ∂f/∂y * ∂y/∂t. Já a derivada de f com relação à variável s é obtida por meio da expressão ∂f/∂s = ∂f/∂x * ∂x/∂s + ∂f/∂y * ∂y/∂s.
A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da função f(x,y) = x + y com relação às variáveis t e s, sabendo que x = e^t * e^s = e^(t+s).
A ∂f/∂t = e^(t+s) + e^(t+s) = 2e^(t+s).
B ∂f/∂t = e^(t+s) + e^(t+s) = e^(t+s).
C ∂f/∂t = 2e^(t+s) e^s - e^t = -∂f/∂s = 2e^(t+s).
D ∂f/∂t = 2e^(t+s) e^s.
E ∂f/∂t = e^t e^s - e^s.

A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura (T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a função PV = kT onde k é uma constante dada, considere um gás com o volume de 150 m³ sob uma pressão de 10 N/m². O volume está aumentando a uma taxa de 2 m³/s e a pressão está decrescendo a uma taxa de 0,2 N/m² por segundo.
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura considerando as informações anteriores (Use k = 10).
A A temperatura está diminuindo a uma taxa de 12 por segundo no instante dado.
B A temperatura está aumentando a uma taxa de 52 por segundo no instante dado.
C A temperatura está aumentando a uma taxa de 1º por segundo no instante dado.
D A temperatura está diminuindo a uma taxa de 5º por segundo no instante dado.
E A temperatura está diminuindo a uma taxa de 32 por segundo no instante dado.