encontre a derivada de segunda ordem da função f(x,y)=x-y/x²+y

em função de x:

Fx(x,y): 1 +y*2x/(x^2+y)^2

em função de y:

Fy(x,y) = [-1*(x^2+y) +y*(x^2+y)^-2]/(x^2+y)^2

Iniciaremos tratando y constante faremos a primeira derivada em x:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x-y}{x^2+y}\right)\)

Aplicando a regra do quociente, teremos:

\(=\frac{\frac{d}{dx}\left(x-y\right)\left(x^2+y\right)-\frac{d}{dx}\left(x^2+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x^2+y\right)^2}\)

Observe que:

\(\frac{d}{dx}\left(x-y\right)=1\\\frac{d}{dx}\left(x^2+y\right)=2x\)

Entao teremos que:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x-y}{x^2+y}\right)=\frac{-x^2+2xy+y}{\left(x^2+y\right)^2}\)

Faremos novamente o mesmo procedimento com esta função. Aplicaremos a regra do quociente:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{-x^2+2xy+y}{\left(x^2+y\right)^2}\right)=\frac{\frac{d}{dx}\left(-x^2+2xy+y\right)\left(x^2+y\right)^2-\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+y\right)^2\right)\left(-x^2+2xy+y\right)}{\left(\left(x^2+y\right)^2\right)^2}\)

Temos que:

\(\frac{d}{dx}\left(-x^2+2xy+y\right)=2y-2x\\\frac{d}{dx}\left(\left(x^2+y\right)^2\right)=4x\left(x^2+y\right)\)

Substituindo estes valores na derivada, chega-se em:

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{-x^2+2xy+y}{\left(x^2+y\right)^2}\right)=\frac{2\left(x^3-3x^2y-3xy+y^2\right)}{\left(x^2+y\right)^3}\)

E esta é a resposta deste exercício.

Bons estudos!