Temos uma função densidade de probabilidade dada por:

\(f(x) = 1 – 0,5 x\\ 0 < x < 2\)

a) Queremos a probabilidade de um aluno assistir mais de 85% da aula, o que equivale a \(1,7<x<2\). Integrando a densidade de probabilidade nesse intervalo, temos:

\(P(1,7<x<2) = \int_{1,7}^2f(x)dx=\int_{1,7}^21-0,5xdx=\left[x-0,25x^2\right]_{1,7}^2\)

Substituindo os valores, temos:

\(P(1,7<x<2) = \left[0,3-0,25\cdot2^2+0,25\cdot1,7^2\right]=0,3-1+0,7225=0,0225\)

Escrevendo em formato de porcentagem, temos:

\(\boxed{P(1,7<x<2) = 2,25\%}\)

b) Vamos calcular a probabilidade de exatamente 15 dos 20 alunos ficarem na aula:

\(P_{15} = P_1^{15}\cdot(1-P_1)^5\cdot C_{20}^{15}\)

Onde C representa o número de combinações dos 20 alunos em 15 que ficam até o fim:

\(P_{15} = 0,0225^{15}\cdot(1-0,0225)^5\cdot {20!\over15!5!} = 0,0225^{15}\cdot(1-0,0225)^5\cdot {20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\over5\cdot4\cdot3\cdot2}\Rightarrow \boxed{P_{15}\approx2,65\cdot10^{-21}}\)