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Otimização (urgente)

Um tanque retangular com 1125 pés cubicos de capacidade, de base quadrada, medindo x pés de lado e y pés de profundidade, será construído com a parte superior nivelada ao solo para captar água pluvial. O custo associado ao tanque envolve não só o material utilizado, que é de $5 por pé quadrado para a base e as laterais, mas também uma taxa de escavação proporcional ao produto xy, que é de $10. Escreva a função custo e determine os valores de x e de y que irão minimizar esse custo. 

Cálculo I

UFPR


2 resposta(s)

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Rodrigo Baltuilhe dos Santos

Há mais de um mês

Boa noite!

Volume do tanque:

x^2.y=1125

Custo para material ($ 5,00):

Custo para escavação ($ 10,00, proporcional a xy):

Área da superfície do tanque (sem tampa):

A=x^2+4xy (base quadrada de lado x + 4lados xy)

Custo:

C(x)=5A+10xy

C(x)=5(x^2+4xy)+10xy

C(x)=5x^2+30xy

Isolando o y da equação do volume:

y=1125/x^2

Então:

C(x)=5x^2+30x(1125/x^2)

C(x)=5x^2+33750/x

 

Para encontrarmos o máximo (ou mínino) devemos encontrar os pontos críticos e analisarmos o sinal da derivada segunda. Então:

C'(x)=10x-33750/x^2

Igualando a zero:

10x-33750/x^2=0

10x=33750/x^2

x^3=3375

x=15

 

Agora que obtivemos o ponto, devemos verificar se o mesmo é de máximo ou mínimo. Vamos usar o teste da derivada segunda:

C''(x)=10+67500/x^3

Veja que ao substituirmos qualquer valor para x>0 sempre dará um número positivo. Portanto, x=15 é um ponto de mínimo

x=15

y=1125/15^2=5

 

Espero ter ajudado!

Boa noite!

Volume do tanque:

x^2.y=1125

Custo para material ($ 5,00):

Custo para escavação ($ 10,00, proporcional a xy):

Área da superfície do tanque (sem tampa):

A=x^2+4xy (base quadrada de lado x + 4lados xy)

Custo:

C(x)=5A+10xy

C(x)=5(x^2+4xy)+10xy

C(x)=5x^2+30xy

Isolando o y da equação do volume:

y=1125/x^2

Então:

C(x)=5x^2+30x(1125/x^2)

C(x)=5x^2+33750/x

 

Para encontrarmos o máximo (ou mínino) devemos encontrar os pontos críticos e analisarmos o sinal da derivada segunda. Então:

C'(x)=10x-33750/x^2

Igualando a zero:

10x-33750/x^2=0

10x=33750/x^2

x^3=3375

x=15

 

Agora que obtivemos o ponto, devemos verificar se o mesmo é de máximo ou mínimo. Vamos usar o teste da derivada segunda:

C''(x)=10+67500/x^3

Veja que ao substituirmos qualquer valor para x>0 sempre dará um número positivo. Portanto, x=15 é um ponto de mínimo

x=15

y=1125/15^2=5

 

Espero ter ajudado!

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Especialistas PD

Há mais de um mês

Sabendo que o volume será dado por: V = x²y 
x²y = 1125   (1)

y = 1125/x²

Então : 
D= 5(x² + 4xy) + 10xy ...............substituindo (1) nesta equação temos : 

D = 5 [ x² + 4x(1125/x²) ] + 10x(1125/x²) 
D= 5 [ x² + 4500/x ] + 11250/x 
D = 5 [ ( x³ + 4500 )/x ] + 11250/x 
D = ( 5x³ + 22500 )/x + 11250/x 
D = ( 5x³ + 22500 + 11250 ) / x 
D= ( 5x³ + 33750 ) / x 

Derivando D teremos : 
D ' = [ ( x.15x² - (5x³ + 33750 ) ] / x² 

Igualando a derivada D ' = 0 para determinarmos o valor máximo, teremos : 
[ ( x.15x² - (5x³ + 33750 ) ] / x² = 0 
( x.15x² - (5x³ + 33750 ) = 0 
15x³ - 5x³ - 33750 = 0 
10x³ = 33750 
x³ = 3375 
\(x = (3375) ^{1/3}\)

x = 15 

substituindo x = 15 em (1) teremos que y = 75 

Resposta: Portanto as dimensões que minimizam o custo total do tanque é : x=15 e y = 75

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos estudantes