extremos

Nessa questão não precisa escrever os dados do problema, mas sempre é bom anotar primeiramente:

v=40m/s

g=10m/s²

t= [0,8]

Fórmula dada: s(t)= 40 - 5t²

Ok, O corpo foi lançado verticalmente PARA CIMA, então ele sobe e depois desce por causa da gravidade. Já que o enunciado não diz nada sobre interferência do trajeto ou algo do tipo, então supõe-se que o objeto sobe e desce no mesmo tempo. O intervalo de tempo é de 0 a 8, logo o corpo levou 4 segundos para subir e mais 4 para descer, totalizando 8 segundos que o problema informou.

Logo, o ponto mais alto ou altura máxima que o objeto alcançou em relação ao solo foi justamente no segundo 4, pois a partir desta altura o corpo já começaria a decair. (Se quiser comprovar substituindo os valores anotados no começo você pode) E por favor, dá like nessa resposta! 

Aparentemente a resolução é bem simples.

Se você tem a função da posição em relação ao tempo s(t) = 40t - 5t², ao fazer a derivada primeira, você terá a função da velocidade em relação ao tempo, ou seja, v(t) = 40 - 10t.

Sabemos que na altura máxima do corpo, é o momento em que ele tende a mudar o sentido do movimento, ou seja, como ele está subindo ele deverá descer. Contudo, para que isso ocorra, ele deve primeiro parar seu movimento para retornar. No instante em que ele para o movimeto sua velocidade é ZERO.

Assim, sabemos que a velocidade no ponto máximo é ZERO. Então, basta substituirmos na equação. 0 = 40 - 10t. como resultado obtemos t = 4s.

Outra forma seria adotar a equação da velocidade para acelerações constantes, e sabemos que a aceleraçã da gravidade é constante. Logo temos:

v = v0+ at.

Bom, devemos lembrar que nosso referencial é positivo para cima, logo a aceleração da gravidade é para baixo, o que a tornará negativa no momento de entrar com seu valor. Assim, lembrando que o ponto máximo é o momente que a velocidade será ZERO. temos:

v = 0

a = g = -10 m/s²

v0 = 40 m/s

0 = 40 - 10t (A equação ficou identica a que obtivemos ao derivar a função da posição em relação ao tempo).

temos novamente o t = 4s.

A altura máxima será dada pelo valor máximo da equação da posição.

O valor máximo é determinado pela derivada da função s(t) e igualada a zero.

Portanto:

\(ds/dt = 40 - 10t = 0\\ t = 4\,s\)

Resposta: O ponto de altura máxima  será em 4 segundos.