Probabilidade

Pelas especificações do enunciado, você terá que colocar essas 8 torres nos 8 espaços da diagonal preta, se tratando assim de uma permutação.
Seria algo mais ou menos assim, considerando que todas as torres são iguais(brancas).
Para a primeira torre, eu tenho 8 opções na diagonal preta para coloca-la.
Para a segunda torre, eu tenho 7 opções na diagonal preta para coloca-la(já coloquei 1 torre)
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Dai resulta que a resposta é 8!

Primeiramente é importante saber como são as disposições das casas brancas e pretas num tabuleiro de xadrez. Na figura 1 abaixo está representada um tabuleiro de xadrez:

Figura 1 – Tabuleiro de xadrez padrão.

Existem duas diagonais principais: uma composta somente por casas brancas e outra somente por casas pretas, como mostrado na figura 2 abaixo:

Figura 2 – Diagonal branca (flecha vermelha) e diagonal preta (flecha azul).

Agora, precisamos colocar as 8 peças de xadrez (torres brancas) de modo que não haja duas torres brancas na mesma linha ou na mesma coluna. Para isso, colocando uma torre na primeira linha, existem 8 opções, e colocando uma torre na segunda linha, são 7 opções, já que não é possível colocar na mesma coluna em que está a torre da primeira linha. Seguindo o raciocínio, são 6 opções para a terceira linha, 5 opções para a quarta linha, 4 para a quinta linha, 3 para a sexta linha, 2 opções para a sétima linha e uma opção para a oitava linha, como representado na figura 3 abaixo:

Figura 3 – disposição das 8 torres brancas no tabuleiro.

Nesse primeiro momento podemos pensar que, pelo princípio da multiplicação, são incluídas novas possibilidades a cada linha, ou seja, a quantidade de possibilidades seria

sem que consideremos a restrição das diagonais brancas.

O princípio da inclusão e exclusão de dois conjuntos afirma que se existem dois conjuntos, o número de elementos da interseção entre os dois é dado pela soma dos números de elementos de cada conjunto e a subtração de sua intersecção. Em outras palavras:

E pode ser visualmente comprovado na figura abaixo:

Figura 4 – União e intersecção dos conjuntos A e B.

A subtração da intersecção é feita para que ela não seja contada duas vezes, visto que ela é contada uma vez no número de elementos de A outra vez na contabilização do número de elementos de B.

Caso fossem três conjuntos, o número de elementos da intersecção seria contado 3 vezes. Para corrigir esse excesso de contagem, seria necessário excluir as intersecções duas a duas, para no final somarmos as intersecções dos três conjuntos. Ou seja,

Esse princípio pode ser generalizado da seguinte maneira:

Em outras palavras, se existirem dois conjuntos que se interseccionam, a união dos dois conjuntos é a soma e subtração intercalada de suas intersecções. No problema do tabuleiro, os conjuntos são as possibilidades de cada peça do tabuleiro estar na diagonal branca ou não.

Assim, se pararmos para perceber no segundo detalhe da questão que exige que nenhuma peça esteja na diagonal branca, precisamos pensar o seguinte:

- Todas as maneiras possíveis sem restrição da diagonal:

- Escolhendo 7 peças para estarem em qualquer lugar permitido e 1 na diagonal branca (interseção entre as condições), temos que fazer uma combinação de oito peças tomadas uma a uma, ou seja:

- Escolhendo 6 peças para estarem em qualquer lugar permitido e 2 na diagonal branca, temos:

- E seguindo o raciocínio até 8 peças em toda a diagonal branca, utilizando o princípio da exclusão e inclusão (onde vamos subtrair e somar as possibilidades que envolvem a diagonal branca das possibilidades sem restrição para que sobrem apenas os casos sem a diagonal branca) podemos concluir que o número de possibilidades é:

Portanto são

Referências:

Figura 1 – http://xadrezvigoroso.blogspot.com/2014/10/1-o-tabuleiro-o-rei-dama-torre-tecnica.html;

Figura 2 – Autoria própria;

Figura 3 – Autoria própria;

Figura 4 – https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/.