Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre a função \( f(x) \) definida por partes: I. ( ) A função f é derivável em x = 2. Para que a função seja derivável em \( x = 2 \), precisamos verificar se as derivadas laterais existem e são iguais, além de verificar a continuidade da função nesse ponto. II. ( ) A derivada de f existe, pois as derivadas laterais são: \( f'_{+}(2) = f'_{-}(2) = 1 \). Precisamos calcular as derivadas laterais. Para \( x \geq 2 \), temos \( f(x) = x^3 - x^2 \). A derivada é \( f'(x) = 3x^2 - 2x \). Avaliando em \( x = 2 \), temos \( f'(2) = 3(2^2) - 2(2) = 12 - 4 = 8 \). Para \( x < 2 \), temos \( f(x) = -6x - 6 \). A derivada é \( f'(x) = -6 \). Portanto, \( f'_{-}(2) = -6 \) e \( f'_{+}(2) = 8 \). As derivadas laterais não são iguais, então essa afirmativa é falsa. III. ( ) A função f não é derivável em x = 2, porque f não é contínua em x = 2. Primeiro, vamos verificar a continuidade. Para \( x = 2 \), temos: - \( f(2) = 2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 4 \) (usando a parte da função para \( x \geq 2 \)). - Para \( x < 2 \), \( f(2) \) não é definido, mas o limite quando \( x \) se aproxima de 2 pela esquerda é \( -6(2) - 6 = -12 - 6 = -18 \). Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em \( x = 2 \). Portanto, essa afirmativa é verdadeira. IV. ( ) A função f é derivável em x = 2, porque f é contínua em x = 2. Como já vimos, a função não é contínua em \( x = 2 \), então essa afirmativa é falsa. Resumindo: - I: F - II: F - III: V - IV: F A sequência correta é: F - F - V - F.