Como se resolve esta EDIF: 4x³=(1-2x²-2y)dy/dx-4xy, e se é exata ou não?

Deriva-se x em "y" e y em "x" e se ambos resultados derem 0 quer dizer que EDO é exata;

UMA EQUAÇÃO DA FORMA P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 é exata se e semonte se ∂P/∂y = ∂Q/∂x.

Teorema P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0  é exata, então existe um função F(x,y) tal que                            ∂F/∂X = P e ∂F/∂y = Q

E a solução de E.D Exata será:

F(x,y)=C ; C = contaste real

∂F(x,y)/∂x = P(x,y) ⇒ ∂F(x,y) = P(x,y)∂x

∫∂F(x,y) = ∫P(x,y)∂x

4x³ = ( 1-2x²-2y)dy/dx - 4xy

(4x³ + 4xy)dx + (-1 + 2x² + 2y) = 0

Deriva em relação a Y o que for X é constante.

P(x,y) = 4x³ + 4xy ⇒ ∂P/∂y = 4x

Deriva em relação a X o que for Y é constante.

Q(x,y) = -1 + 2x² + 2y ⇒ ∂Q/∂x = 4x

A equação foi comprovada que é Exata porque derivando P(x,y) em relação a Y e depois derivando Q(x,y) em relação a X o resultado foi igual.

Agora é livre escolha vc tem que utilizar a equação P(x,y) ou Q(x,y) que for mais facil para fazer a integração.

∂F(x,y) = ( 4x³ + 4xy )∂x

∫∂F(x,y) = ∫( 4x³ + 4xy )∂x

F(x,y) = 2x²y + x^4 + g(y)

g é uma função arbitraria e ela tera a letra ao contrario da função que foi utilizada se vc utilizou P(x,y)dx a função arbitraria será g(y) e quando vc utilizar Q(x,y)dy a função arbitraria será g(x).

∂/∂y ( 2x²y + x^4 + g(y) ) = Q(x,y)

∂/∂y ( 2x²y + x^4 + g(y) ) = -1 + 2x² + 2y

Derivar em relação a Y o que for X é constante e o que estiver depois do sinal de igualdade copia:

( 2x² + g’(y) ) = -1 + 2x² + 2y

isola o g’(y)

g’(y) = -1 + 2x² + 2y - 2x²

g’(y) = -1 + 2y

agora tem que Integrar a função g’(y):

g’(y) = -1 + 2y

dg/dy = 2y -1

dg = ( 2y -1 )dy

∫dg = ∫( 2y -1 )dy

g = y² - y + c

F(x,y) + g(y)

F(x,y) = 2x²y + x^4 + y² - y + c  Resposta Final.

Caro amigo Fernando Luiz, postei esta equação pois não acho que seja exata, conforme abaixo:

Deriva em relação a Y o que for X é constante.

P(x,y) = 4x³ + 4xy ⇒ ∂P/∂y = 4x

Na minha opnião, derivando-se em relação a Y teremos o seguinte:

4x³+4x, que nos dará 16x^4, não sendo esta equação exata.

O mesmo acontece para esta equação

Deriva em relação a X o que for Y é constante.

Q(x,y) = -1 + 2x² + 2y ⇒ ∂Q/∂x = 4x,

Ou seja. 4x + 2y