Gente, urgente!! Qual a derivada por DEFINIÇÃO de: raiz de x2 + 1??

Cálculo I

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ISEPS

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mariana porta

21/11/2015

💡 2 Respostas

Edmilson Silva

24.06.2016

Pela Definição temos que a derivada é dada por:

$\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Substituindo na função, temos:

$\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{(x+h)^2+1} - \sqrt{x^2+1}}{h}$

Multiplicando o numerador e o denominador por $sqrt{(x+h)^2+1} + \sqrt{x^2+1}}$ , teremos:

$\lim_{h\to 0} \frac{[\sqrt{(x+h)^2+1} - \sqrt{x^2+1}] * [sqrt{(x+h)^2+1} + \sqrt{x^2+1}]}{h * [sqrt{(x+h)^2+1} + \sqrt{x^2+1}]}$

Desenvolvendo:

$\lim_{h\to 0} \frac{2xh +h^2}{h*[\sqrt{x^2+2xh+h^2+1} + \sqrt{x^2+1}]}$

Dividindo o numerador e denominador por h, temos:

$\lim_{h\to 0} \frac{2x +h}{\sqrt{x^2+2xh+h^2+1} + \sqrt{x^2+1}}$

Fazendo h tender a zero:

$\frac{2x}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt {x^2+1}}$

Daí:

$\frac{2x}{2*\sqrt{x^2+1}}$

Portanto, a derivada é dada por:

$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Abs

1

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Julio C. Lourenço

27.10.2018

Olá!

A derivada da função deve ser calculada aplicando a regra da cadeia. Observe então a resolução:

E esta é então a derivada desta função.

Bons estudos!

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