translação de eixos

é B

Primeiro, vamos estabalecer as seguintes relações:

X1O1Y1

x = x1 + 4
y = y1 + 1

Ou seja, o ponto (1,1) em X1O1Y1 é o ponto (5,2) em xOy, por exemplo.

X2O2Y2

x = x2 + 1
y = y2 + 2

Ou seja, o ponto (1,1) em X2O2Y2 é o ponto (2,3) em xOy, por exemplo.

a) Utilizando as relações anteriores, vamos fazeer a mudança de coordenadas dos pontos (0,0), (4,1) e (1,2) do sistema XOY para os sistemas X1O1Y1 e X2O2Y2:

(0,0)

X1O1Y1 = (-4,-1)
X2O2Y2 = (-1,-2)

(4,1)

X1O1Y1 = (0,0)
X2O2Y2 = (3,-1)

(1,2)

X1O1Y1 = (-3,1)
X2O2Y2 = (0,0)

Agora vejamos como os vetores OO1, OO2 e O1O2 são definidos no sistema XOY:

OO1 = (4,1) - (0,0) = (4,1)

Dessa forma, utilizando a mudança de coordenadas por translação definida anteriormente, nos outros sistemas temos

X1O1Y1 -> OO1 = (0,0) - (-4,-1) = (4,1)
X2O2Y2 -> OO1 = (3,-1) - (-1,-2) = (4,1)

Analogamente, para OO2 no sistema XOY temos

OO2 = (1,2) - (0,0) = (1,2)

Dessa forma, utilizando a mudança de coordenadas por translação definida anteriormente, nos outros sistemas temos

X1O1Y1 -> OO2 = (-3,1) - (-4,-1) = (1,2)
X2O2Y2 -> OO2 = (0,0) - (-1,-2) = (1,2)


Novamente, para O1O2 no sistema XOY temos

O1O2 = (1,2) - (4,1) = (-3,1)

Dessa forma, utilizando a mudança de coordenadas por translação definida anteriormente, nos outros sistemas temos

X1O1Y1 -> OO2 = (-3,1) - (0,0) = (-3,1)
X2O2Y2 -> OO2 = (0,0) - (3,-1) = (-3,1)

Portanto os vetores são invariantes nos três sistemas.

b) Pela invariância das representações dos vetores em cada sistema, concluímos que se 

OO2 = OO1 + O1O2

Vale no sistema XOY, então valerá para todos os sistemas:

(1,2) = (4,1) + (-3,1)
(1,2) = (4-3,1+1)
(1,2) = (1,2)