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Integral

Qual a solucão da integral?  ∫x(x+1)^100

Cálculo IUFAC

3 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Neste exercício, será resolvida a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int x(x+1)^{100}\, dx\)


Será utilizado método por substituição. Criando uma nova variável \(u\), tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} u = (x+1)^{50} & (I) \\ du = 50(x+1)^{49}dx & (II) \end{matrix} \right.\)


Substituindo as equações, tem-se que:

\(\Longrightarrow \int x(x+1)^{50}(x+1)(x+1)^{49}\, dx\)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int x(x+1)^{50}(x+1)\cdot [50(x+1)^{49}\, dx]\)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int x\cdot u (x+1) du \,\,\,\, (III)\)


Atravé das equação \((I)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow x=u^{1 \over 50}-1\,\,\,\,(IV)\)


Substituindo a equação \((IV)\) na equação \((III)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{1 \over 50}-1)\cdot u \cdot (u^{1 \over 50}-1+1) du \)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{1 \over 50}-1)\cdot u \cdot u^{1 \over 50} du \)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{1 \over 50}-1) \cdot u^{51 \over 50} du \)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{52 \over 50}-u^{51 \over 50}) du \)


Agora, com expressões de integrais conhecidas, tem-se que:

\(\Longrightarrow {1 \over 50} \Big({u^{{52 \over 50}+1} \over52/50+1} -{u^{{51 \over 50}+1} \over 51/50 + 1} \Big) +c\)

\(\Longrightarrow {1 \over 50} \Big({u^{102 \over 50} \over 102/50} -{u^{101 \over 50} \over 101/50} \Big) +c\)

\(\Longrightarrow {u^{102 \over 50} \over 102} -{u^{101 \over 50} \over 101}+c\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.


Voltando à variável \(x\) ao substituir a equação \((I)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {(x+1)^{50\cdot {102 \over 50}} \over 102} -{(x+1)^{50 \cdot{101 \over 50}} \over 101}+c\)

\(\Longrightarrow {(x+1)^{102} \over 102} -{(x+1)^{101} \over 101}+c\)


Portanto, o resultado da integral é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int x(x+1)^{100}\, dx = {(x+1)^{102} \over 102} -{(x+1)^{101} \over 101}+c $}\)

Neste exercício, será resolvida a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int x(x+1)^{100}\, dx\)


Será utilizado método por substituição. Criando uma nova variável \(u\), tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} u = (x+1)^{50} & (I) \\ du = 50(x+1)^{49}dx & (II) \end{matrix} \right.\)


Substituindo as equações, tem-se que:

\(\Longrightarrow \int x(x+1)^{50}(x+1)(x+1)^{49}\, dx\)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int x(x+1)^{50}(x+1)\cdot [50(x+1)^{49}\, dx]\)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int x\cdot u (x+1) du \,\,\,\, (III)\)


Atravé das equação \((I)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow x=u^{1 \over 50}-1\,\,\,\,(IV)\)


Substituindo a equação \((IV)\) na equação \((III)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{1 \over 50}-1)\cdot u \cdot (u^{1 \over 50}-1+1) du \)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{1 \over 50}-1)\cdot u \cdot u^{1 \over 50} du \)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{1 \over 50}-1) \cdot u^{51 \over 50} du \)

\(\Longrightarrow {1 \over 50}\int (u^{52 \over 50}-u^{51 \over 50}) du \)


Agora, com expressões de integrais conhecidas, tem-se que:

\(\Longrightarrow {1 \over 50} \Big({u^{{52 \over 50}+1} \over52/50+1} -{u^{{51 \over 50}+1} \over 51/50 + 1} \Big) +c\)

\(\Longrightarrow {1 \over 50} \Big({u^{102 \over 50} \over 102/50} -{u^{101 \over 50} \over 101/50} \Big) +c\)

\(\Longrightarrow {u^{102 \over 50} \over 102} -{u^{101 \over 50} \over 101}+c\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.


Voltando à variável \(x\) ao substituir a equação \((I)\), tem-se que:

\(\Longrightarrow {(x+1)^{50\cdot {102 \over 50}} \over 102} -{(x+1)^{50 \cdot{101 \over 50}} \over 101}+c\)

\(\Longrightarrow {(x+1)^{102} \over 102} -{(x+1)^{101} \over 101}+c\)


Portanto, o resultado da integral é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int x(x+1)^{100}\, dx = {(x+1)^{102} \over 102} -{(x+1)^{101} \over 101}+c $}\)

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Felipe

Há mais de um mês

Método de substituição:

 

Seja u=x+1 >> x= u-1

        du=dx

Então  ∫(u-1)*u^100 du = (Aplicando a distribuitiva) ∫ u^101 - u^100 du

                                    = ∫ u^101 - ∫ u^100 = 

                                    = (u^102)/102 - (u^101)/101  que substituindo de volta temos:

                                    = (x+1)^102 / 102 - (x+1)^101 / 101

                              

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Leonardo

Há mais de um mês

x + 1 = h  .: x = h -1, e dx = dh, substituindo temos

int(h-1)(h)^100dh, logo temos, int(h^101 - h^100)dh, o que nos fornece (1/102)h^102 - (1/101)h^101 + C, substitui o h por x + 1 e pronto.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas