Verifique o item a seguir se os vetores dados geram o R3 a) v=(2,2,2), u=(0,0,3) e w=(0,1,1)

Basta verificar se eles são LI. (três vetores LI geram um subespaço de dimensão 3. Como dim \(\mathbb{R}^3=3\), o subespaço gerado é o próprio \(\mathbb{R}^3\).

Sejam \(a, b, c \in \mathbb{R}^3\) tais que 

. \(a(2,2,2)+b(0,0,3)+c(0,1,1)=0\), ou seja:

\(2a=0 \\ 2a+c=0 \\ 2a+3b+c=0\)

É fácil ver que esse sistema só admite a solução trivial e isso é suficiente para mostrar que os vetores dados são LI. Isso mostra que eles geram \(\mathbb{R}^3\).