álguem tem esse exercício resolvido? resolver por laplace: y"-3y'+2y=0 y(0)=3; y'(0)=4

y+t

Pelo enunciado, tem-se as seguintes condições iniciais:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} y(0)=3 \\ y'(0) = 4 \end{matrix} \right.\)

Uma vez que a transformada de Laplace de \(y\) é \(Y\), a transformada de suas derivadas é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \mathcal{L}(y') = s \cdot Y-y(0) \\ \mathcal{L}(y'')=s^2\cdot Y - s \cdot y(0) - y'(0) \end{matrix} \right.\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} \mathcal{L}(y') = s \cdot Y-3 \\ \mathcal{L}(y'')=s^2\cdot Y - 3s - 4 \end{matrix} \right.\)

Portanto, aplicando a Transformada de Laplace na equação \(y'' - 3y' + 2y=0\), a equação fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \mathcal{L}(y'') - 3 \cdot \mathcal{L}(y') + 2\cdot \mathcal{L}(y)=\mathcal{L}(0)\)

\(\Longrightarrow (s^2\cdot Y - 3s - 4) - 3 ( s \cdot Y-3) + 2\cdot Y=0\)

\(\Longrightarrow s^2\cdot Y - 3s - 4 - 3s \cdot Y+9 + 2\cdot Y=0\)

\(\Longrightarrow Y(s^2-3s+2) - 3s +5=0\)

\(\Longrightarrow Y(s^2-3s+2) =3s -5\)

\(\Longrightarrow Y ={3s -5 \over s^2-3s+2}\)

Simplificando o denominador, tem-se que:

\(\Longrightarrow s = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow s = {3 \pm \sqrt{9-4(1)(2)} \over 2(1)}\)

\(\Longrightarrow s = {3 \pm 1 \over 2}\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} s_1 = 2 \\ s_2 = 1 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow Y ={3s -5 \over s^2-3s+2} = {3s -5 \over (s-2)(s-1)}\)

Aplicando o método de frações parciais, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow {3s -5 \over (s-2)(s-1)} = {k_1 \over s-2} + {k_2 \over s-1}\)

\(\Longrightarrow {3s -5 \over (s-2)(s-1)} = {k_1(s-1) \over (s-2)(s-1)} + {k_2(s-2) \over (s-2)(s-1)}\)

\(\Longrightarrow {3s -5 \over (s-2)(s-1)} = {(k_1s-k_1) \,+\, (k_2s-2k_2)\over (s-2)(s-1)} \)

\(\Longrightarrow {3s -5 \over (s-2)(s-1)} = {s(k_1 + k_2) - (k_1 + 2k_2)\over (s-2)(s-1)} \)           \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} k_1+k_2 = 3 \\ k_1+2k_2=5 \end{matrix} \right.\)

Resolvendo o sistema, tem-se que \(k_1= 1\) e \(k_2 = 2\). Portanto, o termo \(Y\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow Y ={1 \over s-2} + {2 \over s-1}\)

Aplicando a Transformada inversa de Laplace, a solução é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y=e^{2t} + 2e^t $}\)