Fisica I

Question

Um instrumento cortante controlado por um microprocessador possui diversas forças atuando sobre ele. Uma das forças é dada, no SI, por &shy;&shy;&shy;&shy;, em que x, y são as coordenadas da posição do instrumento e a = 2,5 N/m3. Considere o deslocamento do instrumento desde a origem a até o ponto (3,3). Dessa forma, determine o trabalho realizado por essa força por dois caminhos:
 
a) seguindo o caminho ao longo da reta y = x.
b) seguindo ao longo do eixo Ox até o ponto (3,0) e, depois, paralelo ao eixo Oy até o ponto (3,3).
 
Com base nos resultados apresentados acima, essa força é dita conservativa ou não conservativa? Justifique.

RD Resoluções · Answer

a)

Primeiramente devemos determinar o trabalho quando $y=x$ :

$\begin{align} & F=-\alpha x{{y}^{3}} \ & {{F}_{y}}=-\alpha {{y}^{3}} \ & W=\int_{0}^{3}{{{F}_{y}}}dy \ & W=\int_{0}^{3}{-\alpha {{y}^{3}}}dy \ & W=-\alpha \left( \frac{{{y}^{4}}}{4} \right)_{0}^{3} \ & W=-2.5\left( 20,25 \right) \ & W=-50,6J \ \end{align} $

O trabalho será portanto, igual a $\boxed{W =  - 50,6{\text{ J}}}$.

b) Agora calcularemos novamente o trabalho, porém utilizando um novo deslocamento:

$\begin{align} & F=-3\alpha x{{y}^{2}} \ & {{F}_{y}}=-3\alpha {{y}^{2}} \ & W=\int_{0}^{3}{{{F}_{y}}}dy \ & W=\int_{0}^{3}{-3\alpha {{y}^{2}}}dy \ & W=-\alpha \left( \frac{{{y}^{3}}}{3} \right)_{0}^{3} \ & W=-7.5\left( \frac{27}{3} \right) \ & W=-67,5J \ \end{align} $

Como vimos, para caminhos diferentes, o trabalho foi diferente. Isso nos faz concluir que as forças são não conservativas pois a força é completamente dependente do deslocamento.

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