como eu faço para resolver esse problema.

Esse exercício é do Hibbeler, segue o link com as resoluções de todo o livro. Essa em especifico está na página 204, exe 5.32.

https://www.passeidireto.com/arquivo/17628804/resistencia-dos-materiais---r-c-hibbeler-7-edicao-resolucao

Para encontrarmos a espessura mínima do eixo, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \omega =1140\cdot \left( \frac{2\pi }{60} \right) \\ & \omega =119,3rad/s \\ & \\ & T=\frac{P}{\omega } \\ & T=\frac{165000}{119,3}=1383,6N.m \\ & \\ & {{c}_{i}}=\sqrt[4]{{{c}^{4}}-\frac{2P}{\pi \omega \tau }} \\ & {{c}_{i}}=\sqrt[4]{{{0,03125}^{4}}-\frac{2\cdot 165000}{\pi \cdot 119,3\cdot 56\cdot {{10}^{6}}}} \\ & {{c}_{i}}=26,08mm \\ & f=31,25mm-26,08 \\ & f=5,17mm \\ \end{align}\ \)

Portanto, a espessura mínima será de \(\boxed{f = 5,17{\text{ mm}}}\).