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Ainda com relação aos exerćıcios anteriores, seria válido substituir as implicações P1 =⇒ Q1 e P2 =⇒ Q2 na hipótese por suas rećıprocas Q1 =⇒ P1 e Q2 =⇒ P2?

Desvendando com Questões

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A substituição das implicações \( P_1 \Rightarrow Q_1 \) e \( P_2 \Rightarrow Q_2 \) por suas recíprocas \( Q_1 \Rightarrow P_1 \) e \( Q_2 \Rightarrow P_2 \) não é válida em geral. As implicações originais estabelecem uma relação de causa e efeito, enquanto as recíprocas não garantem a mesma relação. Portanto, essa substituição pode levar a conclusões incorretas. É importante manter a lógica das implicações originais para garantir a validade das afirmações.

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Discreta Lista 1_2

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Seja U = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15}. Encontre o complementar, com relação ao universo U , dos seguintes conjuntos:
• A = {2, 4, 8, 10} • B = {x ∈ U | x é impar} • C = {x ∈ U | x é múltiplo de 5} • D = {1, 5, 7, 11}

Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine:
• A ∪B • A ∪ C • B ∪ C • A \B • B \A • A \ C • C \A • B \ C • C \B

Sejam P1, P2, Q1 e Q2 propriedades referentes a elementos de um conjunto universo U. Suponha que P1 e P2 esgotam todos os casos posśıveis (ou seja, um elemento qualquer de U ou tem propriedade P1 ou tem P2). Suponha ainda que Q1 e Q2 sao incompat́ıveis (isto é, excluem-se mutualmente). Suponha, finalmente, que P1 =⇒ Q1 e P2 =⇒ Q2.
Prove que valem as rećıprocas: Q1 =⇒ P1 e Q2 =⇒ P2.

Sejam X1, X2, Y1 e Y2 subconjuntos do conjunto universo U. Suponha que X1 ∪X2 = U e Y1 ∩ Y2 = φ, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2.
Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2.

Escreva as implicações lógicas que correspondem a resolucao da equação √x + 2 = 2, veja quais são reverśıveis e explique o aparecimento de ráızes estranhas.
Faca o mesmo com a equação √x+ 3 = x.

Mostre que, para todo m > 0, a equação √x+m = x tem exatamente uma raiz.

Considere os conjuntos abaixo: F = conjunto de todos os filósofos M = conjunto de todos os matemáticos C = conjunto de todos os cient́ıstas P = conjunto de todos os professores.
a) Exprima cada uma das afirmativas abaixo usando a linguagem de conjuntos:
1. Todos os matemat́ıcos são cient́ıstas
2. Alguns matemáticos são professores
3. Alguns cient́ıstas são filósofos
4. Todos os filósofos são cient́ıstas ou professores
5. Nem todo professor é cient́ısta

Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é ı́mpar então sua raiz quadrada é ı́mpar.

Prove o teorema de Cantor: se A é um conjunto e P (A) é o conjunto das partes de A, não existe uma funcao f : A→ P (A) que seja sobrejetiva.
Sugestão: Suponha que exista uma tal função f e considere X = {x ∈ A : x /∈ f(x)}.

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Seja U = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 15}. Encontre o complementar, com relação ao universo U , dos seguintes conjuntos:• A = {2, 4, 8, 10} • B = {x ∈ U | x é impar} • C = {x ∈ U | x é múltiplo de 5} • D = {1, 5, 7, 11}

Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine:• A ∪B • A ∪ C • B ∪ C • A \B • B \A • A \ C • C \A • B \ C • C \B

Sejam X1, X2, Y1 e Y2 subconjuntos do conjunto universo U. Suponha que X1 ∪X2 = U e Y1 ∩ Y2 = φ, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2.Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2.

Escreva as implicações lógicas que correspondem a resolucao da equação √x + 2 = 2, veja quais são reverśıveis e explique o aparecimento de ráızes estranhas.Faca o mesmo com a equação √x+ 3 = x.

Mostre que, para todo m > 0, a equação √x+m = x tem exatamente uma raiz.

Prove que se um quadrado perfeito é par então sua raiz quadrada é par e que se um quadrado perfeito é ı́mpar então sua raiz quadrada é ı́mpar.

Prove o teorema de Cantor: se A é um conjunto e P (A) é o conjunto das partes de A, não existe uma funcao f : A→ P (A) que seja sobrejetiva.Sugestão: Suponha que exista uma tal função f e considere X = {x ∈ A : x /∈ f(x)}.

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• A = {2, 4, 8, 10} • B = {x ∈ U | x é impar} • C = {x ∈ U | x é múltiplo de 5} • D = {1, 5, 7, 11}

Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e C = {5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine:
• A ∪B • A ∪ C • B ∪ C • A \B • B \A • A \ C • C \A • B \ C • C \B

Sejam X1, X2, Y1 e Y2 subconjuntos do conjunto universo U. Suponha que X1 ∪X2 = U e Y1 ∩ Y2 = φ, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2.
Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2.

Escreva as implicações lógicas que correspondem a resolucao da equação √x + 2 = 2, veja quais são reverśıveis e explique o aparecimento de ráızes estranhas.
Faca o mesmo com a equação √x+ 3 = x.

Prove o teorema de Cantor: se A é um conjunto e P (A) é o conjunto das partes de A, não existe uma funcao f : A→ P (A) que seja sobrejetiva.
Sugestão: Suponha que exista uma tal função f e considere X = {x ∈ A : x /∈ f(x)}.