como resolver a equaçao diferencial exata de (xdx/(x^2 + y^2)^3/2 + ydy/(x^2+y^2)^3/2)=0

O primeiro passo é verificar se a EDO (equação diferencial ordinária) é exata. Para isso deve-se comparar as derivadas parciais dos termos que acompanham dx e dy. Depois disso, podemos utilizar o método da integração direta para resolvê-la.

Reescrevemos a equação dada da seguinte maneira:

Agora, precisamos comparar se a derivada parcial de M em função de y é igual à derivada parcial de N em função de x. Denotaremos My como a derivada parcial da função M em função de y, e Nx como a derivada parcial da função N em função de x.

    e      

Como há a igualdade entre o que foi calculado, a equação é considerada exata.

Devemos agora integrar as duas funções que compõem a EDO dada. Note que temos uma função em x (M) e outra em y (N). Podemos escrever M como Fx(x,y) e N como Fy(x,y). Vamos integrá-las:

Utilizando substituição de variável, podemos fazer  . Assim, podemos rescrever F(x,y) como:

Onde C(y) é uma função em y que quando derivada em função de x se torna zero. Uma vez encontrada a integral de Fx, podemos encontrar a de Fy de forma análoga:

Utilizando substituição de variável, podemos fazer  . Assim, podemos rescrever F(x,y) como:

Igualando os resultados encontrados para F(x,y), temos que:

Logo, a equação que representa F(x,y) é:

Na parte final da resolução é necessário estar atento as funções C(x) e C(y) que estão presentes na igualdade. Como mostrado no final da resolução, temos C(y) do lado esquerdo e C(x) do lado direito. Como não temos nenhuma função de y no lado direito e nenhuma função de x do lado esquerdo, podemos concluir que as duas funções C(x) e C(y) são nulas. Finalmente, temos que a função que representa a F(x,y) é:

O primeiro passo é verificar se a EDO (equação diferencial ordinária) é exata. Para isso deve-se comparar as derivadas parciais dos termos que acompanham dx e dy. Depois disso, podemos utilizar o método da integração direta para resolvê-la.

Reescrevemos a equação dada da seguinte maneira:

Agora, precisamos comparar se a derivada parcial de M em função de y é igual à derivada parcial de N em função de x. Denotaremos My como a derivada parcial da função M em função de y, e Nx como a derivada parcial da função N em função de x.

e

Como há a igualdade entre o que foi calculado, a equação é considerada exata.

Devemos agora integrar as duas funções que compõem a EDO dada. Note que temos uma função em x (M) e outra em y (N). Podemos escrever M como Fx(x,y) e N como Fy(x,y). Vamos integrá-las:

Utilizando substituição de variável, podemos fazer . Assim, podemos rescrever F(x,y) como:

Onde C(y) é uma função em y que quando derivada em função de x se torna zero. Uma vez encontrada a integral de Fx, podemos encontrar a de Fy de forma análoga:

Utilizando substituição de variável, podemos fazer . Assim, podemos rescrever F(x,y) como:

Igualando os resultados encontrados para F(x,y), temos que:

Logo, a equação que representa F(x,y) é:

Na parte final da resolução é necessário estar atento as funções C(x) e C(y) que estão presentes na igualdade. Como mostrado no final da resolução, temos C(y) do lado esquerdo e C(x) do lado direito. Como não temos nenhuma função de y no lado direito e nenhuma função de x do lado esquerdo, podemos concluir que as duas funções C(x) e C(y) são nulas. Finalmente, temos que a função que representa a F(x,y) é: