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Calculo 1 - DERIVADAS.

Um varejista determinou que o custo C para comprar e amrmazenar x unidades de um produto é:

C = 2x + 300000/x  para 1<x<300.

 O caminhão de entrega pode trazer no maximo 300 unidades em cada compra.

Encontre quantas unidades devem ser compradas para minimizar o custo.

💡 1 Resposta

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Marconi Borba Mondo

Ok, voce tem uma equação ( C=2x + 300000/x) e um intervalo (0<x<300) para achar pontos criticos da função você deriva e iguala a zero, que fica C'=2 - 300000/x^2 = 0 logo para valores de x positivos, x=357,29... isto te diz que tem um ponto critico ali, mas você não sabe se é de minimo ou de maximo, para avaliar isto você deriva novamente, se o valor de C para este x for positivo, é minimo, e se for negativo é de maximo. Seguindo, C"=300000/x^3 para x=357,29...  C=0,0051639... logo tem ponto é de minimo.

Sabendo que nos valores positivos de x, seu unico ponto critico, que agora sabemos que é de minimo, ocorre em x=357,29... sabemos que todos os outros pontos são maiores que ele, logo podemos concluir C(i)>C(i+1) para o intervalo 0 a 300, isto significa que no intervalo de 0 a 300, a função C decresce até o chegar no valor minimo mais proximo do ponto critico.

Assim o menor custo será obtido na compra de 300 unidades.

Espero ter ajudado, qualquer duvida estou a disposição.

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RD Resoluções

Neste exercício, o custo de um varejista deve ser minimizado. A função do custo está apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow \begin{matrix} C(x) = 2x + {300.000 \over x}, & 0 \le x \le 300 \end{matrix}\)


O custo mínimo é obtido pela seguinte equação:

\(\Longrightarrow {dC(x) \over dx} = 0\)


Derivando \(C(x)\), o valor de \(x\) que minimiza o custo é:

\(\Longrightarrow {d \over dx} \Big (2x + {300.000 \over x} \Big )= 0\)

\(\Longrightarrow 2{d \over dx}x + 300.000 {d \over dx}(x^{-1}) = 0\)

\(\Longrightarrow 2 + 300.000 (-x^{-1-1}) = 0\)

\(\Longrightarrow 2 - {300.000 \over x^2} = 0\)

\(\Longrightarrow 2 = {300.000 \over x^2} \)

\(\Longrightarrow x^2 = {300.000 \over 2} \)

\(\Longrightarrow x = \sqrt{150.000} \)

\(\Longrightarrow x = 387,3\)


Como o valor de \(x\) que minimiza \(C(x)\) é maior do que o limite de 300 unidades, a resposta final do exercício é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ x = 300 $}\)

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