Um construtor deseja construir um depósito com as seguintes características: capacidade de 30 m3, teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R$ 36000,00 para o chão, R$ 204000,00 para os lados e R$ 102000,00 para o teto. Quais as dimensões do depósito que minimizarão o custo?
Dados:
x=comprimento
y=largura
z=altura
altura=3/4 do comprimento >z=3/4*x
volume=30m³
30 = x*y*z = x*y*3/4*x = y*x²
logo> y = 3/4*30/x² = 40*x²
custo = custo do teto + custo do piso + custo das paredes
C = 36*x*y + 102*x*y + 204*(2*x*z + 2*y*z)
C = 36*x*40/x² + 102*x*40/x² + 204*(2*x*3/4*x + 2*40/²*3/4*x)
C = 1440*x^-1 + 4080*x^-1 + 306*x² + 12240*x^-1
C = 17760*x^-1 + 306*x²
C' = -1*17760*x^-2 + 306*2*x = 0
C' = 17760/x²=612x ou 17760/612 = x³
x³ = 29019 ou x = raiz³ de 29019 = 3,07m
z = 3/4*x = 3/4*3,07 = 2,30m
Portanto, as dimensões que minimizarão os custos serão:
y = 40/x² = 40/(3,07)² = 4,23m
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
Compartilhar