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PROBLEMAS DE DERIVADAS

Um construtor deseja construir um depósito com as seguintes características: capacidade de 30 m3, teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro  quadrado do material é de R$ 36000,00 para o chão, R$ 204000,00 para os lados e R$ 102000,00 para o teto.  Quais as dimensões do depósito que minimizarão o custo?

💡 2 Respostas

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de onde saiu esse 306, pode me explicar, pfvr?
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RD Resoluções

Dados:

x=comprimento 
y=largura 
z=altura 

altura=3/4 do comprimento >z=3/4*x 

volume=30m³ 

30 = x*y*z = x*y*3/4*x = y*x² 

logo> y = 3/4*30/x² = 40*x² 

custo = custo do teto + custo do piso + custo das paredes 

C = 36*x*y + 102*x*y + 204*(2*x*z + 2*y*z) 

C = 36*x*40/x² + 102*x*40/x² + 204*(2*x*3/4*x + 2*40/²*3/4*x) 

C = 1440*x^-1 + 4080*x^-1 + 306*x² + 12240*x^-1 

C = 17760*x^-1 + 306*x² 

C' = -1*17760*x^-2 + 306*2*x = 0 

C' = 17760/x²=612x ou 17760/612 = x³ 

x³ = 29019 ou x = raiz³ de 29019 = 3,07m 

z = 3/4*x = 3/4*3,07 = 2,30m 

Portanto, as dimensões que minimizarão os custos serão:

y = 40/x² = 40/(3,07)² = 4,23m

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