Para determinar um esquema diário de produção que maximize o lucro da marcenaria, vamos seguir os passos abaixo: 1. Conversão de horas em minutos: A marcenaria tem 8 horas diárias, o que equivale a 480 minutos (8 horas x 60 minutos). 2. Definição das variáveis: - Seja \( x \) o número de mesas produzidas. - Seja \( y \) o número de cadeiras produzidas. 3. Lucro total: O lucro total \( L \) pode ser expresso como: \[ L = 34x + 18y \] 4. Restrições: - Mão de obra: Cada mesa consome 12 minutos e cada cadeira consome 10 minutos. Portanto, a restrição de mão de obra é: \[ 12x + 10y \leq 480 \] - Madeira: Cada mesa precisa de 3 unidades de madeira e cada cadeira precisa de 1 unidade. Portanto, a restrição de madeira é: \[ 3x + y \leq 72 \] 5. Restrições não-negativas: \[ x \geq 0 \quad \text{e} \quad y \geq 0 \] 6. Resolvendo o sistema: Agora, precisamos resolver o sistema de inequações para encontrar os valores de \( x \) e \( y \) que maximizam o lucro. - Da restrição de mão de obra: \[ 12x + 10y = 480 \implies y = \frac{480 - 12x}{10} = 48 - 1.2x \] - Da restrição de madeira: \[ 3x + y = 72 \implies y = 72 - 3x \] 7. Encontrando os pontos de interseção: Igualando as duas expressões para \( y \): \[ 48 - 1.2x = 72 - 3x \] Resolvendo: \[ 3x - 1.2x = 72 - 48 \implies 1.8x = 24 \implies x = \frac{24}{1.8} \approx 13.33 \] Como \( x \) deve ser um número inteiro, testamos \( x = 13 \) e \( x = 14 \). 8. Calculando \( y \): - Para \( x = 13 \): \[ y = 72 - 3(13) = 72 - 39 = 33 \] - Para \( x = 14 \): \[ y = 72 - 3(14) = 72 - 42 = 30 \] 9. Verificando as restrições: - Para \( x = 13 \) e \( y = 33 \): \[ 12(13) + 10(33) = 156 + 330 = 486 \quad (\text{não atende a mão de obra}) \] - Para \( x = 14 \) e \( y = 30 \): \[ 12(14) + 10(30) = 168 + 300 = 468 \quad (\text{atende a mão de obra}) \] 10. Calculando o lucro: - Para \( x = 14 \) e \( y = 30 \): \[ L = 34(14) + 18(30) = 476 + 540 = 1016 \] Portanto, a marcenaria deve produzir 14 mesas e 30 cadeiras para obter o lucro máximo de R$ 1016.