Uma matriz A de ordem n diz-se anti-simétrica se A = −A^t . Mostre que se n é impar, o determinante de uma matriz anti-simétrica de ordem n é sempre 0

\[\left\{ \matrix{ \det \left( A \right) = \det \left( {{A^T}} \right){\rm{ }}......\left( 1 \right) \cr \det \left( { - A} \right) = {\left( { - 1} \right)^n} \cdot \det \left( A \right){\rm{ }}......\left( 2 \right) } \right.\]

Do enunciado, temos que \({A^T} = - A\). Substituindo na propriedade \(\left( 1 \right)\):

\[\det \left( A \right) = \det \left( { - A} \right){\text{ }}......\left( 3 \right)\]

Agora, como \(n\) é impar, o fator \({\left( { - 1} \right)^n}\) da propriedade \(\left( 2 \right)\) será igual a \(-1\). Assim, \(\left( 2 \right)\) fica \(\det \left( { - A} \right) = - \det \left( A \right)\). Substituindo em \(\left( 3 \right)\), teremos:

\[\eqalign{ \det \left( A \right) &= - \det \left( A \right)\cr\det \left( A \right) + \det \left( A \right) &= 0\cr\det \left( A \right) &= 0 }\]

Portanto, sendo \(A\) uma matriz anti-simétrica de ordem ímpar, temos que \(\boxed{\det \left( A \right) = 0}\).

Sabemos que existe uma relação entre dos determinantes de uma matriz A e sua transposta dada por 

det A = det A^T. No nosso caso, A = -A^T nos diz que det A = det (-A^T) = (-1)ⁿ det A^T. Quando n é impar, (-1)ⁿ= -1 e temos det A = - det A^T. Como o determinante é um número real nesse caso, a última igualdade só é possível quando det A = - det A^T= 0.

Usamos nesse exercício duas propriedades dos determinantes de uma matriz: Se A é uma matriz real de ordem n, tem-se

• det A = det A^T
• det (kA) = kⁿ det A

Você encontra a demonstração dessas propriedades em qualquer livro básico de Álgebra Linear. bons estudos!