Calculo II - Equação Linear 1º Ordem

Primeiro, para resolver equações de tal tipo, deixar o termo dy/dx sozinho, para assim podermos aplicar um método de resolução bem simples,

dy/dx + y/x = 3/x

agora devemos multiplicar ambos os lados por algo que chamamos de fator integrante, esse fator integrante vai permitir escrever o lado esquerdo da nossa equação por meio mais fáceis de se calcular a integral.

E esse fator integrante é dado pela fórmula:

e^(∫1/xdx) = e^(lnx + k) 

Assim, ao multiplicar, obtemos:

e^(lnx + k)dy/dx + y e^(lnx + k)/x = 3e^(lnx + k)/x

Observe agora que o lado esquerdo da nossa equação pode ser escrito:

(y*e^(lnx + k))' = 3 e^(lnx + k)/x

(y*e^(lnx)e^(k))'=3/xe^(lnx)e^(k))

e^k = k1

(k1yx)'=3xk1/x => (yx)'=3

Integrando em relação a x:

yx = 3x + C1

y = 3 + C1/x

Pela condição inicial dada

y(1) = 3 + C1/1 = 0 => C1 = -3

y = 3 - 3/x

x^2(3/x^2) = x(3 - 3/x) = 3 + 3x -3 = 3x

Temos a seguinte equação diferencial para resolver:

\(x^2{dy\over dx}+xy=3x\)

Vamos multiplicar a equação pelo fator integrante \(\mu\) e dividir por \(x^2\):

\(\mu{dy\over dx}+{1\over x}\mu y={3\over x}\mu\)

Pela derivada do produto, temos:

\({d\over dx}(\mu y)=\mu{dy\over dx}+y{d\mu\over dx}\)

Comparando o lado direito com a nossa equação diferencial, temos:

\(\mu{dy\over dx}+y{d\mu\over dx}=\mu{dy\over dx}+{1\over x}\mu y\Rightarrow {d\mu\over dx}={\mu\over x}\)

Separando as variáveis, temos:

\({d\mu\over\mu}={dx\over x}\Rightarrow\int{d\mu\over\mu}=\int{dx\over x}\Rightarrow \ln{\mu}=\ln{x}\Rightarrow\mu(x)=x\)

Substituindo na equação, temos:

\({d\over dx}(\mu y)={3\mu\over x}\Rightarrow {d\over dx}(xy)=3\)

Integrando em relação a \(x\), temos:

\(\int{d\over dx}(xy)\ dx=\int3\ dx\Rightarrow xy=3x+C\Rightarrow y(x)=3+{C\over x}\)

Substituindo a condição de contorno dada, temos:

\(y(1)=0=3+C\Rightarrow C=-3\)

Temos, portanto:

\(\boxed{y(x)=3\left(1-{1\over x}\right)}\)