lim (1/t√1+t) - (1/t), t tendendo a 0

Para resolver esse problema, devemos fazer algumas manipulações algébricas antes,

Vamos reescrever da seguinte forma

(1 - (1+t)^1/2)/(t(1+t)^1/2)

Bom, a partir daqui, podemos fazer de duas formas, usando L'Hospital e não usando L'Hospital, aí vai depender se já foi passado esse conceito pra vc. De toda forma, por L'Hospital é mais fácil, caso vc saiba usar fica de exercício pra vc ver que dessa forma também dá certo, vou fazer de um outro jeito.

Vamos multiplicar em cima e embaixo por (1 + (1+t)^1/2) 

(1 - 1 -t)/(t(t+1)^1/2 + t(1+t)) => -t/((t(t+1)^1/2 + t(1+t)) => -1/((t+1)^1/2 + (1+t))

Agora, fazendo t ir a 0

-1/2

Caso vc tenha dúvida de como fazer por L'Hospital este exercício é só falar que eu faço.

Por L´Hospital:

(1 - (1+t)^1/2)/(t(1+t)^1/2)

Quando t tende a 0, esse é um limite da forma 0/0, onde podemos usar a regra, ela diz que seja p(x) uma função que pode ser escrita como f(x)/g(x) quando x tende a 0, assim 

f'(x)/g'(x) = f(x)/g(x)

f(t) = 1 - (1+t)^1/2  e g(t) = t(1+t)^1/2

f'(t) = -1/(2(1+t)^1/2) e g'(t) = (1+t)^1/2 + t/(2(1+t)^1/2)

Ou seja,

-1/(2(1+t)^1/2)/( (1+t)^1/2 + t/((1+t)^1/2))

Multiplicando em cima e embaixo por 

2(1+t)^1/2

-1/(2+3t) com t tendendo a zero

Assim, o limite é -1/2