Dados os vetores u=(1,2,0),v=(0,-1,0) e w=(2,2,0). Calcule a projeção do vetor u, na direção do vetor v+w.

Boa noite!

k=v+w=(0,-1,0)+(2,2,0)=(2,1,0)

proj_k u = (u . k / ||k|| ^2) k

u.k = (1,2,0).(2,1,0) = 1.2+2.1+0.0 = 2+2+0 = 4

||k||^2 = 2^2+1^2+0^2 = 4+1+0 = 5

Então:

proj_k u = (u . k / ||k|| ^2) k = (4/5) (2,1,0) = (8/5, 4/5, 0)

Espero ter ajudado!

Primeiro vamos calcular a soma dos vetores \(v\) e \(w\):

\(v+w=(0+2,-1+2,0+0)\)

\(v+w=(2,1,0)\)

Para facilitar a leitura da resposta vamos chamar esse novo vetor de \(p\):

\(p=(2,1,0)\)

Podemos calcular a projeção de \(u\) sobre o vetor \(p\) através da seguinte fórmula:

\(proj_up= (\frac{p \cdot u}{p \cdot p})\cdot u\)

Onde \(u\) e \(p\) representam os vetores e \(p \cdot p\) significa o tamanho do vetor que é resultado do produto escalar de \(p\) por ele mesmo.

Primeiro vamos calcular o valor de \(p \cdot u\), lembrando que o produto escalar entre vetores deve gerar um valor escalar:

\(p \cdot u = (2,1,0) \cdot (1,2,0)\)

\(p \cdot u = 2 \cdot1 + 1\cdot2+0\cdot0\)

\(p \cdot u = 4\)

Agora vamos calcular o produto escalar \(p \cdot p\):

\(p \cdot p = (2,1,0) \cdot (2,1,0)\)

\(p \cdot p =2\cdot2+1\cdot1+0\cdot0\)

\(p \cdot p =5\)

Agora aplicando esses valores na fórmula:

\(proj_up=(\frac{4}{5}) \cdot u\)

\(proj_up=(\frac{4}{5}) \cdot (1,2,0)\)

\(proj_up=(\frac{4}{5} \cdot 1, \frac{4}{5} \cdot 2, \frac{4}{5} \cdot 0)\)

\(proj_up=(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}, 0)\)

Assim obtemos nosso vetor projeção de \(\textbf{u}\) sobre \(\textbf{v+w}\):

\(\boxed {proj_u(v+w)=(\frac{4}{5}, \frac{8}{5}, 0)}\)