Limite x-->1(3*(1-x^2)-2*(1-x^3))/((1-x^3)*(1-x^2))

Fatorando e simplificando a expressão:

[3(1 - x²) - 2(1 - x³)] / [(1 - x³)(1 - x²)]

= [3(1 - x)(1 + x) - 2(1 - x)(1 + x + x²)] / [(1 - x)(1 + x + x²)(1 - x)(1 + x)]

= [(1 - x)(3(1 + x) - 2(1 + x + x²))] / [(1 - x)²(1 + x + x²)(1 + x)]

= [(1 - x)(- 2x² + x + 1)] / [(1 - x)²(1 + x + x²)(1 + x)]

= [(1 - x)²(2x + 1)] / [(1 - x)²(1 + x + x²)(1 + x)]

= [(2x + 1)] / [(1 + x + x²)(1 + x)]

Logo, lim x → 1 [3(1 - x²) - 2(1 - x³)] / [(1 - x³)(1 - x²)]

= lim x → 1 [(2x + 1)] / [(1 + x + x²)(1 + x)]

= [(2*1 + 1)] / [(1 + 1 + 1²)(1 + 1)]

= 1/2

Multiplicando tudo para remover os parênteses, temos:

lim[(2x³ -3x² +1)/(x^5 -x³ -x² +1)]; x→1

Aplicando a regra de L'Hôspital, fica:

lim[(6x² -6x)/(5x^4 -3x² -2x)]; x→1

Simplificando por x:

lim[(6x -6)/(5x³ -3x -2)]; x→1

Como a indeterminação persiste, usamos novamente a regra de L'Hôspital e agora temos:

lim[6/(15x² -3)]; x→1

Fazendo a substituição direta, encontramos o valor do limite, que é 1/2. :)

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {3(1-x^2) - 2(1-x^3) \over (1-x^3)(1-x^2)}\)

Sendo \(a=1\) e \(b=x\), pode escrever as seguintes equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \\ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \end{matrix} \right.\)  \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} 1 - x^3 = (1-x)(1+x+x^2) \space \space (I) \\ 1 -x^2 = (1-x)(1+x) \space \space \space \space \space \space \space \space (II) \end{matrix} \right.\)

Substituindo as equações \((I)\) e \((II)\), o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {3(1-x^2) - 2(1-x^3) \over (1-x^3)(1-x^2)} = \lim_{x \to 1} {3(1-x)(1+x) - 2(1-x)(1+x+x^2) \over (1-x^3)(1-x)(1+x)}\)

                                          \(= \lim_{x \to 1} {3(1+x) - 2(1+x+x^2) \over (1-x^3)(1+x)}\)

                                          \(= \lim_{x \to 1} {3+3x - 2-2x-2x^2 \over (1-x^3)(1+x)}\)

                                          \(= \lim_{x \to 1} {1+x-2x^2 \over (1-x^3)(1+x)}\)   \((III)\)

O numerador \(n(x)=1+x-2x^2\) da equação \((III)\) está no formato adequado para a Fórmula de Bhaskara, com \(a=-2\), \(b=1\) e \(c=1\). Portanto, os zeros da função \(n(x)\) são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1^2-4(-2)1} \over 2(-2)}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{9} \over -4}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm 3 \over -4}\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1 = -0,5 \\ x_2 = 1 \end{matrix} \right.\)

Conhecidos os zeros de \(n(x)\), a equação \((III)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {3(1-x^2) - 2(1-x^3) \over (1-x^3)(1-x^2)} = \lim_{x \to 1} {1+x-2x^2 \over (1-x^3)(1+x)}\)

                                          \(= \lim_{x \to 1} {a(x-x_1)(x-x_2) \over (1-x^3)(1+x)}\)

                                          \(= \lim_{x \to 1} {-2(x+0,5)(x-1) \over (1-x^3)(1+x)}\)

Substituindo a equação \((II)\) no denominador, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {3(1-x^2) - 2(1-x^3) \over (1-x^3)(1-x^2)} = \lim_{x \to 1} {2(x+0,5)(1-x) \over \big[(1-x) (1+x+x^2)\big](1+x)}\)

                                          \(= \lim_{x \to 1} {2(x+0,5) \over (1+x+x^2)(1+x)}\)

Substituindo o valor limite na equação anterior, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 1} {3(1-x^2) - 2(1-x^3) \over (1-x^3)(1-x^2)} = \lim_{x \to 1} {2(x+0,5) \over (1+x+x^2)(1+x)}\)

                                          \(= {2(1+0,5) \over (1+1+1^2)(1+1)}\)

                                          \(= {2(1,5) \over (3)(2)}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to 1} {3(1-x^2) - 2(1-x^3) \over (1-x^3)(1-x^2)} = {1 \over 2} $}\)