determinar m para que a equação do segundo grau mx^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 6m + 8 = 0 tenha raízes reais tais que x' < 0 < x" < 2

"RAIMUNDO NONATO" Eu sempre escrevo isso quando eu não sei a resposta ou eu faço um desenho e digo: "DESCULPA, MAS TINHA UM BATMAN NA FRENTE DA PERGUNTA".

Nesse exercício vamos estudar funções matemáticas.

Temos a seguinte equação de segundo grau:

$$f(x)=mx^2 - 2(m + 1)x + m^2 - 6m + 8 = 0$$

Sabemos que uma das raízes está entre 0 e 2, de forma que a função calculada nesses dois pontos deve ter sinais opostos:

$$f(0)= m^2 - 6m + 8$$

$$f(2)=-4+ m^2 - 6m + 8=f(0)-4<f(0)$$

Se $f(2)<f(0)$, então o seguinte deve ser verdadeiro:

$$f(2)<0<f(0)$$

Diretamente isso implica que a concavidade da parábola é voltada para baixo, de forma que $m<0$. Da segunda parte da desigualdade:

$$f(0)>0\Rightarrow m^2 - 6m + 8>0$$

Por soma e produto, sabemos que a soma das raízes é 6 e o produto é 8, de forma que as raízes devem ser 2 e 4 e, como a concavidade nesse caso é voltada para cima:

$$m<2\ \ \text{ou}\ \ m>4$$

Mas já havíamos descoberto que $m<0$, então este continua valendo. Sabemos que as raízes são distintas, visto que uma é negativa e outra positiva, logo delta é positivo:

$$\Delta=[- 2(m + 1)]^2-4\cot m\cdot (m^2 - 6m + 8)>0$$

$$\Delta=4(m + 1)^2-4m (m^2 - 6m + 8)>0$$

$$\Delta=4(m^2 +2m+ 1)-4(m^3 - 6m^2 + 8m)>0$$

$$-m^3+ 7m^2 -6m+ 1>0$$

Perceba que qualquer que seja $m<0$ essa inequação é válida.

Ainda podemos verificar as raízes diretamente. Sabemos que:

$$\dfrac{2(m + 1)+2\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{2m}<0<\dfrac{2(m + 1)-2\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{2m}<2$$

$$\dfrac{m + 1+\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{m}<0<\dfrac{m + 1-\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{2m}<2$$

Para a primeira desigualdade:

$$\dfrac{m + 1+\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{m}<0$$

$$m + 1+\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}>0$$

$$-m^3+ 7m^2 -6m+ 1> (m + 1)^2$$

$$(-m^2+ 6m -8)m>0$$

Como $m<0$, temos:

$$-m^2+ 6m -8<0\Rightarrow m^2- 6m +8>0$$

Inequação esta já considerada anteriormente. Vamos, então, à segunda inequação:

$$\dfrac{2(m + 1)-2\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{2m}>0$$

$$(m + 1)<\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}$$

Que é igual à obtida anteriormente. Por último:

$$\dfrac{2(m + 1)-2\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}}{2m}<2$$

$$-m + 1>\sqrt{-m^3+ 7m^2 -6m+ 1}$$

$$(m^2- 6m +4)m>0$$

$$m^2- 6m +4<0$$

$$\dfrac{6-\sqrt{36-16}}{2}<m<\dfrac{6+\sqrt{36-16}}{2}$$

$$\dfrac{6-2\sqrt{5}}{2}<m<\dfrac{6+2\sqrt{5}}{2}$$

$$3-\sqrt{5}<m<3+\sqrt{5}$$

Como $3-\sqrt{5}>0$, não existe $m$ tal que $m<0$ e $m>3-\sqrt{5}$.

Logo não existe $m$ que satisfaça o que se pede.