Limite L'hospital

pela regra de L'Hôpital:

lim tan x/ tan 3x = lim tanx*cotan 3x = lim senx*cos3x/cosx*sen3x , deriva em cima; deriva em baixo∴

lim [cosx*cos3x - 3senx*sen3x]/ (-senx*sen3x + 3cosx*cos3x) →

lim cosx*cos3x/(3cosx*cos3x -senx*sen3x) + lim -3senx*sen3x]/ (3cosx*cos3x-senx*sen3x); mas aplicando os limites teremos:

lim 0/[0-1*(1)*(-1)] + lim -3*1*(-1)/[0 -1*1*(-1)] = 0 +lim 3/1= 3

desculpa a formatação, fiz no word, mas, esse espaço não aceita.

Esse limite é uma indeterminação do tipo \(\infty/\infty\). Vamos aplicar a Regra de L'hopital:

\(lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{tanx}{tan(3x)}=\frac{(tanx)'}{(tan(3x))'}\)

A derivada da tangente é \(sec^2x\)

Assim:

\(\frac{(tanx)'}{(tan(3x))'}=\frac{sec^2x}{3sec^23x}\)

Mas, \(sec=\frac{1}{cosx}\)

Assim:

\(\frac{sec^2x}{3sec^23x}=\frac{1/cos^2x}{3.1/cos^23x}=\frac{cos^23x}{3cos^2x}\)

Podemos expandir \(cos^23x\) sabendo que:

\(cos^23x=(4cos^3x-3cosx)^2\)

\(cos^23x=(4cos^3x-3cosx)(4cos^3x-3cosx)\)

Isolado o \(cosx\):

\(cos^23x=cosx(4cos^2x-3).cosx(4cos^2x-3)\)

\(cos^23x=cos^2x(4cos^2x-3)(4cos^2x-3)\)

Substituindo em \(\frac{sec^2x}{3sec^23x}=\frac{1/cos^2x}{3.1/cos^23x}=\frac{cos^23x}{3cos^2x}\):

\(\frac{sec^2x}{3sec^23x}=\frac{1/cos^2x}{3.1/cos^23x}=\frac{cos^23x}{3cos^2x}=\frac{cos^2x(4cos^2x-3)(4cos^2x-3)}{3cos^2x}\)

Cortando os termos iguais:

\(\frac{cos^2x(4cos^2x-3)(4cos^2x-3)}{3cos^2x}=\frac{(4cos^2x-3)(4cos^2x-3)}{3}=\frac{(4cos^2x-3)^2}{3}\)

Assim, o limite fica:

\(lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{(4cos^2x-3)^2}{3}=\frac{(4cos^2.(\pi/2)-3)^2}{3}\)

O \(cos(\pi/2)=0\)

Assim:

\(\frac{(4cos^2.(\pi/2)-3)^2}{3}=\frac{(-3)^2}{3}=3\)

Assim, \(\boxed{lim_{x\rightarrow \pi/2}\frac{tanx}{tan(3x)}=3}\)