Mostre que o conjunto {f pertencente a C[a,b]: f(x)>0 para todo x pertencente [a,b]} é aberto em C[a,b].

Seja f∈C[a,b],  tal que f(x)>0, para tudo x∈[a,b]. Pela compacidad de [a,b],  existe  x_0 en [a,b], tal que 0<f(x_0)=minf(x). Considere a bola centrada em f y radio r=f(x_0)/2, tal bola está contida en dicho cunjunto.  Si ||g-f||<r, entao,-r+f(x)<g(x)<r+f(x) para todo x. Se ve facil  que f(x)-r> f(x_0)/2>0, así g(x)>0.