Como verificar se f(x)= raiz(x^2+1)/x6+x2+2 é contínua em qualquer x E R???

Bem, para verificar continuidade, você tem que verificar para quais valores de x ele não está definido.  Por exemplo, o raiz de x²+1 tem que ser estritamente positivo! Porém verifique que

x²+1>0, já é maior que 0, basta reparar que se x=0, 1>0, se x<0, então x²>0. A questão do denominador x^6 + x^2 + 2 tem de ser diferente de zero, então verifique para quais valores de x esse polinômio zera, e perceberá que não existe x real (apenas complexos) para esse polinômio, ele não tem raízes reais. 

Então você basicamente definirá o domínio no qual o f(x) tem de ser positivo, no caso raiz(x²+1) positivo, mas verifica-se que x²+1 ja´é positivo para qualquer x real, e que x^6 + x^2 +2 tem de ser diferente de zero, e você verifica que não existe x que é igual a zero, logo não existe restrição no domínio, pois x²+1 é positivo por definição e x^6 + x^2 +2 é diferente de zero por definição, logo x contínua nos reais. 

\(f(x) = \sqrt{\frac{x^2 + 1}{x^6 + x^2 + 2}}\)

Para números reais, devemos ter:

\(\frac{x^2 + 1}{x^6 + x^2 + 2}>0\)

O polinômio do denominador tem todas raízes imaginárias (devem ser checadas por um solver, pois equações do sexto grau não possuem solução algébrica), logo nunca se anula para valores reais.

O polinômio do numerador é uma parábola em mesma situação, sempre positiva.

Logo, a função f(x) é contínua em qualquer \(x \in \mathbb{R}\).