com o seguinte par de vetores u =(1,1) v=(-1,2). mostrar que o par{u,v} sao vetores linearmente independentes

Vetores linearmente independentes são aqueles que não podem ser colocados na mesma reta, ou seja, não são colineares. Então para provar que dois vetores são linearmente independentes basta calcular o produto vetorial entre eles, que dará um valor diferente de zero.

Vamos começar expressando os vetores e termos de suas componentes:

\(\mathrm{u=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}=\hat{i}+\hat{j}}\)

\(\mathrm{v=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}=-\hat{i}+2\hat{j}}\)

O produto vetorial em termos das componentes pode ser calculado por:

\(\mathrm{\vec {u} \otimes \vec{v}=(u_xv_y-u_yv_x)\hat{k}}\)

Substituindo os dados, temos:

\(\mathrm{\vec {u} \otimes \vec{v}=[1\times 2-1\times (-)1]\hat{k}=3\hat{k}}\)

Portanto, os vetores \(\mathrm{\vec a}\)  e \(\mathrm{\vec b}\) são vetores linearmente independentes