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A derivada de uma função, em seu conceito mais teórico, é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente, quando a variável independente sofre uma pequena variação.
Seja a função f(t) = t³ + 3t - 1, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada f´(t):
A 3t² + 1
B 3t² + 3
C t² + 3t
D 3t² + t
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Desafios Para o Conhecimento

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Avaliação II - Individual
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Para encontrar a derivada da função \( f(t) = t^3 + 3t - 1 \), vamos aplicar a regra de derivação para cada termo da função. 1. A derivada de \( t^3 \) é \( 3t^2 \). 2. A derivada de \( 3t \) é \( 3 \). 3. A derivada de uma constante, como \(-1\), é \( 0 \). Portanto, somando as derivadas dos termos, temos: \[ f'(t) = 3t^2 + 3 \] Agora, analisando as alternativas: A) \( 3t^2 + 1 \) - Incorreta. B) \( 3t^2 + 3 \) - Correta. C) \( t^2 + 3t \) - Incorreta. D) \( 3t^2 + t \) - Incorreta. A alternativa correta é: B) 3t² + 3.

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Dada uma expressão algébrica qualquer, podemos transformá-la, se possível, no produto de duas ou mais expressões algébricas. A este procedimento damos o nome de fatoração. Existem diferentes tipos de fatoração e os mais utilizados são:
Qual das alternativas apresenta os tipos de fatoração mais utilizados?
A Existe apenas uma maneira de simplificação.
B Somente o Trinômio do quadrado perfeito.
C Fator Comum e Agrupamento.
D Trinômio do quadrado perfeito e divisão de frações.

Um corpo é lançado verticalmente para cima (a partir do solo), com uma velocidade de 40 m/s, num lugar onde o módulo da aceleração da gravidade é 10 m/s², conforme a figura anexa.
Lembrando que, deste modo, podemos descrever a equação horária de seu movimento, modelando a situação como uma função quadrática, tal que f(t) = 40t - 5t². Considerando-se que a única força atuante sobre o corpo é seu peso, conclui-se que o tempo de subida do corpo é:
a) 4 segundos.
b) 8 segundos.
c) 2 segundos.
d) 1 segundo.

Um ponto (x, y) do plano cartesiano move-se segundo as equações x = (2t² - t) e y = (t³ + 2t).
O valor de dy/dx quando t = 2 é:
a) 5.
b) 2.
c) 1.
d) 3.

Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta por duas funções.
Sobre a utilização correta da regra da cadeia, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) y = cos(3x), implica em y' = 3.sin(3x)
( ) y = ln(2x²), implica em y' = 2/x
( ) y = tan (x²), implica em y' = sec²(x²)
( ) y = (2 - x)², implica em y' = 3.(2 - x)²
A ) V - F - V - V.
B ) V - F - V - F.
C ) F - F - V - V.
D ) F - V - F - F.

Um vazamento de óleo se espalha sobre a superfície de um lago formando uma mancha circular. Em determinado instante, a mancha tem um raio de 100 metros, que cresce a uma taxa de variação instantânea de 10 metros por hora.
Usando pi = 3, estima-se que, nesse instante, a área da superfície do lago coberta pela mancha de óleo está crescendo, em m²/h, a uma taxa instantânea igual a
I) 60
II) 30
III) 3000
IV) 6000
a) Somente a opção IV está correta.
b) Somente a opção III está correta.
c) Somente a opção II está correta.
d) Somente a opção I está correta.

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