Como calcular a integral de x^x, de 0 a 1, como série numérica?

Vamos começar fazendo um trabalho matemático com o integrando. Para isto, considere que:

\({x}^{x} = {\left({e}^{\ln {x}} \right)}^{x} = {e}^{x \ln {x}}\)

Agora, usaremos a expansão da série exponencial:

\({e}^{x \ln {x}} = \sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { \left( x \ln{x} \right) }^{ n } }{ n! } }\)

Desta maneira, observe que a integral de 0 a 1 se tornará:

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \int _{ 0 }^{ 1 }{ \frac { { { x }^{ n }\left( \ln {x} \right) }^{ n } }{ n! } } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { 1 }{ n! } \int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx }\)

Agora aplicaremos a seguinte substituição:

\(u = {\left(\ln {x} \right)}^{n}\\du = \frac{{n \left(\ln {x} \right)}^{n-1}}{x} dx\\dv = {x}^{n} dx\\v=\frac{{x}^{n+1}}{n+1}\)

Desta maneira aplicaremos agora a substituição por partes:

\(\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx } =\lim _{ a\rightarrow 0 }{ { \left[ \frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } { \left( \ln { x } \right) }^{ n } \right] }_{ a }^{ 1 } } -\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { \frac { n }{ n+1 } x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n-1 } } dx\)

\(\lim _{ a\rightarrow 0 }{ \int _{ a }^{ 1 }{ { x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n }dx } =-\int _{ 0 }^{ 1 }{ { \frac { n }{ n+1 } x }^{ n } } { \left( \ln { x } \right) }^{ n-1 }dx = \frac{{(-1)}^{n}n!}{{(n+1)}^{n+1}}\)

Desta forma, encontramos que:

\(\int _{ 0 }^{ 1 }{ { x }^{ x } } dx=\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ n-1 } }{ { n }^{ n } } }\)