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Como determinar k na equação ?

 

Sendo A =[[1 0 0], [-1 0 1], [3 1 2]], determine os valores de k na equação Det (A- k x I) = k²- 1


5 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

\(\Longrightarrow \det \Bigg ( A - k \cdot I \bigg ) = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow \det \Bigg ( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} - k \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \bigg ) = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow \det \Bigg ( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \\ \end{bmatrix} \bigg ) = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow \det \begin{bmatrix} 1-k & 0 & 0 \\ -1 & -k & 1 \\ 3 & 1 & 2-k \\ \end{bmatrix} = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow (1-k) \Big [ (-k)(2-k) -1 \cdot 1 \Big ] = (k - 1)(k+1)\)

\(\Longrightarrow -(k-1) \Big [ (-2k+k^2) - 1 \Big ] = (k - 1)(k+1)\)

\(\Longrightarrow - \Big ( k^2-2k - 1 \Big ) = (k+1)\)

\(\Longrightarrow 0 = (k+1) + \Big ( k^2-2k - 1 \Big )\)

\(\Longrightarrow 0 = k^2-k \)

\(\Longrightarrow 0 = k(k-1) \)


Portanto, os valores de \(k\) que atendem à equação anterior é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} k=0 \\ k=1 \end{matrix} \right. $}\)

\(\Longrightarrow \det \Bigg ( A - k \cdot I \bigg ) = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow \det \Bigg ( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} - k \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \bigg ) = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow \det \Bigg ( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \\ \end{bmatrix} \bigg ) = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow \det \begin{bmatrix} 1-k & 0 & 0 \\ -1 & -k & 1 \\ 3 & 1 & 2-k \\ \end{bmatrix} = k^2 - 1\)

\(\Longrightarrow (1-k) \Big [ (-k)(2-k) -1 \cdot 1 \Big ] = (k - 1)(k+1)\)

\(\Longrightarrow -(k-1) \Big [ (-2k+k^2) - 1 \Big ] = (k - 1)(k+1)\)

\(\Longrightarrow - \Big ( k^2-2k - 1 \Big ) = (k+1)\)

\(\Longrightarrow 0 = (k+1) + \Big ( k^2-2k - 1 \Big )\)

\(\Longrightarrow 0 = k^2-k \)

\(\Longrightarrow 0 = k(k-1) \)


Portanto, os valores de \(k\) que atendem à equação anterior é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \left \{ \begin{matrix} k=0 \\ k=1 \end{matrix} \right. $}\)

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Alan

Há mais de um mês

Resposta:

| 1  0  0 |        | 1  0  0 |

|-1 0  1  | -  K.| 0  1  0 |  = K² - 1

| 3  1 2  |        | 0  0  1 |

 

logo: 

| 1  0  0 |        | k  0  0 |

|-1 0  1  |    -  | 0  k  0 |  = K² - 1

| 3  1 2  |        | 0  0  k |

 

que é igual:

 

| 1 - k     0      0       |   1 - k      0

|  -1       -k      1       |     -1       -k

|    3       1     2 - k   |      3        1

 

após resolver a multiplicação, vai ficar assim:

 

( 1 - k ) . ( -k ) . ( 2 - k ) - 1 + k = k² - 1

- k³ + 2k² - k = 0

- k ( k² - 2k + 1 ) = 0

 

- k = 0    (-¹)

  --->>  k = 0

 

k² - 2k + 1 = 0

 

Δ = 0

 

k' = 1

k'' = 1

 

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Alan

Há mais de um mês

a 1ª esta errada, só não sei como excluir!  mas a de baixo esta certa!

 

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Alan

Há mais de um mês

Resposta:

| 1  0  0 |        | 1  0  0 |

|-1 0  1  | -  K.| 0  1  0 |  = K² - 1

| 3  1 2  |        | 0  0  1 |

 

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| 1  0  0 |        | k  0  0 |

|-1 0  1  |    -  | 0  k  0 |  = K² - 1

| 3  1 2  |        | 0  0  k |

 

que é igual:

 

| 1 - k     0      0       |   1 - k

|  -1       -k      1       |     -1

|    3       1     2 - k   |      3

 

após resolver a multiplicação, vai ficar assim:

 

( 1 - k ) . ( -k ) . ( 2 - k ) - 1 + k = k² - 1

- k³ + 2k² - k = 0

- k ( k² - 2k + 1 ) = 0

 

- k = 0    (-¹)

  --->>  k = 0

 

k² - 2k + 1 = 0

 

Δ = 0

 

k' = 1

k'' = 1

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas