Calcule a integral definida de 0 ate π/3 de sen(x)cos²(x) dx obs: utilize o metodo da substituição.

Seja cos(x) = u, du = -sen(x) dx, Assim, temos:

∫(u^2)(-du) = -(u^3)/3

(-cos^3(x))/3 de 0 até pi/3

(-cos^3(0))/3 - (-cos^3(pi/3))/3 = -1/3 + 1/24 = (-8 + 1)/24 = -7/24

Neste exercícios queremos calcular a integral definida:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin(x)\cos^2(x) dx\)

Para isto, chamamos de \(u=\cos(x)\), logo:

\(du=-\sin(x)dx\) e também temos que

Se \(x=0\), então \(u=\cos(0)=1\) e

se \(x=\frac{\pi}{3}\), então \(u=\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\) 

Então:

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin(x)\cos^2(x) dx=-\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}-\sin(x)\cos^2(x) dx \\=-\int_{1}^{\frac{1}{2}}u^2du \\=\int_{\frac{1}{2}}^{1}u^2du \\=\frac{u^3}{3}|^1_{\frac{1}{2}} \\=\frac{1}{3}-\frac{1}{24} \\=\frac{7}{24}\)