Sei que tem alguma relação com autovalores e autovetores, mas não consegui responder.
RD Resoluções
Há mais de um mês
Nesse exercício vamos estudar operações matriciais.
São dadas as matrizes $A$:
$$A=\begin{pmatrix}1&0\\6&-1\end{pmatrix}$$
E $D$:
$$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$
E é pedido que resolvamos a seguinte equação matricial na variável $P$:
$$P^{-1}AP=D$$
Por estarmos tratando de matrizes 2x2, vamos resolver por sistema de equações, que é uma forma simples para matrizes pequenas. Tomemos
$$P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\Rightarrow P^{-1}=\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$
Substituindo as matrizes na equação, temos:
$$\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\6&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$
Multiplicando as duas últimas matrizes, finais do lado esquerdo, ficamos com:
$$\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\6a-c&6b-d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$
Para a segunda multiplicação, temos:
$$\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}da-6ab+bc&2b(d-3b)\\-2a(c-3a)&-bc-6ab-ad\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$
Vamos começar pelos termos nulos:
$$\begin{cases}2b(d-3b)=0\\-2a(c-3a)=0\end{cases}$$
Temos quatro possibilidades para esse par de equações:
$$(a,b)\in\left\{(0,0);\left(\frac13c,0\right);\left(0,\frac13d\right);\left(\frac13c,\frac13d\right)\right\}$$
Mas a primeira e a última opções fazem com que o denominador se anulem, de forma que essas não são possibilidades. Ficamos com:
$$(a,b)\in\left\{\left(\frac13c,0\right);\left(0,\frac13d\right)\right\}$$
Para o sistema formado pelas duas outras equações, temos:
$$\begin{cases}da-6ab+bc=ad - bc\Rightarrow bc=3ab\\-bc-6ab-ad=bc-ad\Rightarrow bc=-3ab\end{cases}$$
Independente dos valores de $a$ e $b$ utilizados, seu produto é sempre nulo, de forma que:
$$bc = 0$$
Ficamos então com duas possibilidades:
$$(a,b)=\left(\frac13c,0\right)\Rightarrow (a,b,c,d)=(a,0,3a,d)$$
$$(a,b)=\left(0,\frac13d\right)\Rightarrow (a,b,c,d)=(0,b,0,3b)$$
Mas a segunda opção também anula o denominador, logo ficamos apenas com a primeira:
$$\boxed{P=\begin{pmatrix}a&0\\3a&d\end{pmatrix},a\neq0,d\neq0}$$
Para conferir, vamos substituir a matriz obtida no lado esquerdo da equação:
$$E=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix}d&0\\-3a&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\6&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\3a&d\end{pmatrix}$$
$$E=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix}d&0\\-3a&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\3a&-d\end{pmatrix}$$
$$E=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix}da&0\\0&-da\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=D$$
Marcus Vinícius de Brito
Há mais de um mês
Esclareceça-me umas coisas que não ficaram muito claras: as matrizes A e D são quadradas de ordem 2? O expoente t está representando a transposta dessas duas matrizes?
Marcus Vinícius de Brito
Há mais de um mês
Ah, tudo bem então!
Alexandre Diego
Há mais de um mês
Obrigado, mesmo assim!