Tendo uma matriz A=[ (1, 6)^t (0,-1)^t ] ,e uma matriz D= [ (1,0)^t (0,-1)^t ], encontre uma matriz invertível P, tal que, P^-1*A*P = D.

Nesse exercício vamos estudar operações matriciais.

São dadas as matrizes $A$:

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\6&-1\end{pmatrix}$$

E $D$:

$$D=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

E é pedido que resolvamos a seguinte equação matricial na variável $P$:

$$P^{-1}AP=D$$

Por estarmos tratando de matrizes 2x2, vamos resolver por sistema de equações, que é uma forma simples para matrizes pequenas. Tomemos

$$P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\Rightarrow P^{-1}=\frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$$

Substituindo as matrizes na equação, temos:

$$\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\6&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

Multiplicando as duas últimas matrizes, finais do lado esquerdo, ficamos com:

$$\frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\6a-c&6b-d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

Para a segunda multiplicação, temos:

$$\frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix}da-6ab+bc&2b(d-3b)\\-2a(c-3a)&-bc-6ab-ad\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$$

Vamos começar pelos termos nulos:

$$\begin{cases}2b(d-3b)=0\\-2a(c-3a)=0\end{cases}$$

Temos quatro possibilidades para esse par de equações:

$$(a,b)\in\left\{(0,0);\left(\frac13c,0\right);\left(0,\frac13d\right);\left(\frac13c,\frac13d\right)\right\}$$

Mas a primeira e a última opções fazem com que o denominador se anulem, de forma que essas não são possibilidades. Ficamos com:

$$(a,b)\in\left\{\left(\frac13c,0\right);\left(0,\frac13d\right)\right\}$$

Para o sistema formado pelas duas outras equações, temos:

$$\begin{cases}da-6ab+bc=ad - bc\Rightarrow bc=3ab\\-bc-6ab-ad=bc-ad\Rightarrow bc=-3ab\end{cases}$$

Independente dos valores de $a$ e $b$ utilizados, seu produto é sempre nulo, de forma que:

$$bc = 0$$

Ficamos então com duas possibilidades:

$$(a,b)=\left(\frac13c,0\right)\Rightarrow (a,b,c,d)=(a,0,3a,d)$$

$$(a,b)=\left(0,\frac13d\right)\Rightarrow (a,b,c,d)=(0,b,0,3b)$$

Mas a segunda opção também anula o denominador, logo ficamos apenas com a primeira:

$$\boxed{P=\begin{pmatrix}a&0\\3a&d\end{pmatrix},a\neq0,d\neq0}$$

Para conferir, vamos substituir a matriz obtida no lado esquerdo da equação:

$$E=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix}d&0\\-3a&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\6&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\3a&d\end{pmatrix}$$

$$E=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix}d&0\\-3a&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&0\\3a&-d\end{pmatrix}$$

$$E=\frac{1}{ad}\begin{pmatrix}da&0\\0&-da\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=D$$