integral de sec^2. 3x ?

Temos que d(tan(ax))/dx = a*sec^2 (ax)

Logo, integral de sec^2 (ax) = tan(ax)/a = tan(3x)/3

(TG3X/3)+C.

Seja \(\int \sec ^2\left(x\right)\cdot \:3xdx\)

Vamos tirar o 3 da integral uma vez que ele é constante

\(3\int \sec ^2\left(x\right)\cdot \:xdx\)

Para resolver essa integral, podemos utilizar integração por partes:

\(\int f(x).g'(x)dx=f(x).g(x)+g(x).f'(x)\)

Assim, seja f(x)=x e g'(x)=\(sec^2x\) e sabendo que a derivada da tangente é \(sec^2x\), temos:

\(3\left(x\tan \left(x\right)-\int \:1\cdot \tan \left(x\right)dx\right)=3\left(x\tan \left(x\right)-\int \tan \left(x\right)dx\right)\)

Mas

\(\int \tan \left(x\right)dx=-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\)

Assim:

\(3\left(x\tan \left(x\right)-\int \tan \left(x\right)dx\right)=3\left(x\tan \left(x\right)-\left(-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)\right)\)

\(3\left(x\tan \left(x\right)-\left(-\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)\right)=3\left(x\tan \left(x\right)+\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)\)

Portanto

\(\boxed{\int \sec ^2\left(x\right)\cdot \:3xdx=3\left(x\tan \left(x\right)+\ln \left|\cos \left(x\right)\right|\right)}\)