Galera alguém ai sabe qual é a primitiva de (ax+b)^r , para å diferente de 0, r diferente de -1.

u=ax+b ⇒ du= a dx 

∫(ax+b)^r dx

= 1/a∫(ax+b)^r  a dx

=1/a∫u^r du

=u^(r+1)/a(r+1)

=[(ax+b)^(r+1)/a(r+1)]+ C

Neste exercício, será encontrada a primitiva de \((ax+b)^r\). Portanto, será calculada a seguinte integral:

\(\Longrightarrow \int (ax+b)^rdx\)

Pelo método da substituição, será criada uma variável \(u\). Portanto, tem-se que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} u=ax+b \\ {du \over dx} = a \end{matrix} \right.\)   \(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} u=ax+b & (I) \\ dx={du \over a} & (II) \end{matrix} \right.\)

Com as equações \((I)\) e \((II)\), a integral fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \int (ax+b)^rdx = {1 \over a} \int (u)^r du\)

\(\Longrightarrow \int (ax+b)^rdx = {1 \over a} \Big [ {u^{r+1} \over r+1} +c \Big ]\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.

Para o resultado ser possível, é necessário que:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} a \ne 0 \\ r \ne -1 \end{matrix} \right.\)

Retornando à variável \(x\), a primitiva de \((ax+b)^r\) é:

\(\Longrightarrow \int (ax+b)^rdx = {1 \over a} {(ax+b)^{r+1} \over r+1} +{c \over a}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \int (ax+b)^rdx = {(ax+b)^{r+1} \over a(r+1)} +c $}\)

Sendo \(c\) uma constante qualquer.