Mostre que $\operatorname{arctg} \mathrm{z}=\frac{i}{2} \log \frac{i+z}{i-z}$, e que $(\operatorname{arctg} \mathrm{z})^{+}=\frac{1}{1+z^{2}}$.

Para mostrar que \(\operatorname{arctg} z = \frac{i}{2} \log \frac{i+z}{i-z}\), podemos começar pela definição da função \(\operatorname{arctg} z\) em termos da função tangente: 1. Sabemos que \(\tan(w) = z\) implica que \(w = \operatorname{arctg} z\). 2. A tangente pode ser expressa em termos da exponencial: \(\tan(w) = \frac{\sin(w)}{\cos(w)} = \frac{e^{iw} - e^{-iw}}{i(e^{iw} + e^{-iw})}\). 3. Portanto, podemos reescrever a tangente como \(\tan(w) = \frac{1 - e^{-2iw}}{i(1 + e^{-2iw})}\). Agora, para a expressão \(\frac{i+z}{i-z}\): 1. Multiplicamos o numerador e o denominador por \(i\): \[ \frac{i+z}{i-z} = \frac{i(1 + \frac{z}{i})}{i(1 - \frac{z}{i})} = \frac{1 + \frac{z}{i}}{1 - \frac{z}{i}}. \] 2. A partir disso, podemos usar a relação entre a tangente e a logaritmo: \[ \tan(w) = z \implies w = \frac{i}{2} \log \frac{1 + iz}{1 - iz}. \] Assim, temos que \(\operatorname{arctg} z = \frac{i}{2} \log \frac{i+z}{i-z}\). Para mostrar que \((\operatorname{arctg} z)^{+} = \frac{1}{1+z^{2}}\): 1. A derivada da função \(\operatorname{arctg} z\) é dada por: \[ \frac{d}{dz} \operatorname{arctg} z = \frac{1}{1+z^2}. \] 2. Portanto, a derivada da função \(\operatorname{arctg} z\) é \((\operatorname{arctg} z)^{+} = \frac{1}{1+z^2}\). Assim, mostramos as duas igualdades solicitadas.