Cálculo Vetorial

w= ∫F*dr, onde o vetor r = <x,y,z>, mas y= √(4-x^2), ou seja, dy = -x/√(4-x^2)dx.

e ainda temos que, dr = <dx, dy, dz> para nossocaso z=0.

w = ∫<x,x³+3xy²>*<dx, dy> = ∫xdx + ∫x³+3xy²dy mas, -2≤x≤2, intervalo no qual x varia, então a primeira integal se anula e ficamos com,

w = ∫x³+3xy²dy = ∫{x³+3x*(4-x^2)}dy = ∫{x^3 +12x -3x^3}dy= ∫12x -2x^3dy

∫(12x -2x^3)*(-x/√(4-x^2))dx = -12∫[x^2/√(4-x^2)] dx +2∫[x^4/√(4-x^2)] dx.

note que esse é o caso √(a-u^2) e usamos, u=a*senθ,ou seja, x= 2*senθ.

Infelizmente é muito ruim de colocar todos os passos aqui. Se quiser posso te mandar depois a foto.

mas, w= -12π

Livros de Cálculo 1 e Cálculo 2 do James Stewart digital e colorido:

https://www.passeidireto.com/arquivo/18434957/calculo---volume-1---james-stewart---7-edicao--livro-digital

https://www.passeidireto.com/arquivo/18446432/calculo---volume-2---james-stewart---7-edicao-livro-digital  

Para encontrar o trabalho realizado devemos realizar os cálculos abaixo

:\(w= ∫Fdr \\  dy = -x/√(4-x^2)dx. \\ w = ∫<x,x³+3xy²>*<dx, dy> \\ w= ∫xdx + ∫x³+3xy²dy mas, -2≤x≤2 \\ w = ∫x³+3xy²dy = ∫{x³+3x*(4-x^2)}dy \\ w= ∫{x^3 +12x -3x^3}dy \\ w= ∫12x -2x^3dy \\ w= -12∫[x^2/√(4-x^2)] dx +2∫[x^4/√(4-x^2)] dx. \\ w= -12π\)

Portanto, o trabalho realizado será:

\(\boxed{w = - 12\pi }\)