Redução por absurdo

Suponha que n é par e n^2 + 5n é ímpar. Então n =  2m, para algum inteiro m. Logo, n^2 + 5n = 4m^2 + 10m = 2m(2m + 5), que é par. Absurdo. A prova por contrapositiva é bastante parecida.

ok! valeu!

Vamos lá!

(a) redução por absurdo:

Hipótese: Se  n² + 5n é um número ímpar, então n é um número par.

Observe que, tomando n par, teremos que o termo n² será:

2² = 4

4² = 16

6² = 36

8² = 64

10² = 100

ou seja, se n for par, então n² também será. Agora, observe o termo 5n, tomando n par:

5*2 = 10

5*4 = 20

5*6 = 30

...

ou seja, 5*n é par, se n é par.

Desta maneira, n² + 5n é uma soma de números pares. A soma de números pares, por sua vez, sempre gera resultados pares.

Assim, temos um absurdo, pois a hipótese proposta é:

Hipótese: Se  n² + 5n é um número ímpar, então n é um número par.

Observamos que n² + 5n será par, portanto este é um absurdo! E assim resolvemos esta parte.

b) Redução por contra-recíproca:

Hipótese: Se n² + 5n é um número PAR, então n é um número PAR.

Desta maneira, tomando n par, o termo n² será:

2² = 4

4² = 16

6² = 36

8² = 64

10² = 100

ou seja, se n for par, então n² também será. Agora, observe o termo 5n, tomando n par:

5*2 = 10

5*4 = 20

5*6 = 30

...

ou seja, 5*n é par, se n é par. Desta maneira, n² + 5n é uma soma de números pares. A soma de números pares, por sua vez, sempre gera resultados pares.

Desta maneira, a contra-recíproca é verdadeira! E, desta maneira, por redução da contra-recíproca, a afirmação de que se n²+5n é ímpar, então n é ímpar.

Bons estudos!