Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre a função \( f(x) \) e sua derivabilidade: I. ( ) A função \( f \) é derivável em \( x = 2 \). Para que a função seja derivável em \( x = 2 \), ela deve ser contínua nesse ponto e as derivadas laterais devem ser iguais. Precisamos verificar a continuidade e as derivadas laterais. II. ( ) A derivada de \( f \) existe, pois as derivadas laterais são: \( f'_+(2) = 1 \) e \( f'_-(2) = 1 \). Precisamos calcular as derivadas laterais para confirmar essa afirmação. III. ( ) A função \( f \) não é derivável em \( x = 2 \), porque \( f \) não é contínua em \( x = 2 \). Se a função não for contínua, ela não pode ser derivável. IV. ( ) A função \( f \) é derivável em \( x = 2 \), porque \( f \) é contínua em \( x = 2 \). Se a função for contínua e as derivadas laterais forem iguais, então a função é derivável. Agora, vamos verificar a continuidade e as derivadas laterais: 1. Verificando a continuidade em \( x = 2 \): - Para \( x < 2 \), \( f(x) = -5x^2 + 5 \). - Para \( x \geq 2 \), \( f(x) = -6x - 6 \). - \( f(2) = -6(2) - 6 = -12 - 6 = -18 \). - \( \lim_{x \to 2^-} f(x) = -5(2)^2 + 5 = -20 + 5 = -15 \). - \( \lim_{x \to 2^+} f(x) = -18 \). Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua em \( x = 2 \). 2. Derivadas laterais: - \( f'_-(2) \) não existe porque a função não é contínua. - \( f'_+(2) \) também não pode ser calculada corretamente devido à descontinuidade. Com isso, podemos concluir: - I. Falsa (a função não é derivável em \( x = 2 \)). - II. Falsa (as derivadas laterais não são iguais). - III. Verdadeira (a função não é derivável em \( x = 2 \) porque não é contínua). - IV. Falsa (a função não é derivável em \( x = 2 \) porque não é contínua). Portanto, a sequência correta é: F, F, V, F. A alternativa correta é: F, F, V, F.