Para estimar o volume do sólido acima do quadrado \( R = [0,2] \times [0,2] \) e abaixo do paraboloide elíptico \( z = 16 - x^2 - 2y^2 \), siga os passos abaixo: 1. Divisão do quadrado \( R \): Divida \( R \) em quatro quadrados iguais. Os quadrados serão: - \( R_{11} = [0, 1] \times [0, 1] \) - \( R_{12} = [1, 2] \times [0, 1] \) - \( R_{21} = [0, 1] \times [1, 2] \) - \( R_{22} = [1, 2] \times [1, 2] \) 2. Escolha dos pontos de amostragem: Para cada quadrado, escolha o canto superior direito como ponto de amostragem: - Para \( R_{11} \): ponto \( (1, 1) \) - Para \( R_{12} \): ponto \( (2, 1) \) - Para \( R_{21} \): ponto \( (1, 2) \) - Para \( R_{22} \): ponto \( (2, 2) \) 3. Cálculo da altura do paraboloide: Calcule \( z \) para cada ponto de amostragem: - \( z(1, 1) = 16 - 1^2 - 2(1^2) = 16 - 1 - 2 = 13 \) - \( z(2, 1) = 16 - 2^2 - 2(1^2) = 16 - 4 - 2 = 10 \) - \( z(1, 2) = 16 - 1^2 - 2(2^2) = 16 - 1 - 8 = 7 \) - \( z(2, 2) = 16 - 2^2 - 2(2^2) = 16 - 4 - 8 = 4 \) 4. Cálculo do volume aproximado: O volume aproximado \( V \) é a soma das áreas das caixas retangulares multiplicadas pela altura: - Área de cada quadrado \( = 1 \times 1 = 1 \) - Volume total \( V \approx 1 \cdot 13 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 7 + 1 \cdot 4 = 34 \) Portanto, o volume estimado do sólido é \( V \approx 34 \) unidades cúbicas. Para o esboço, desenhe o quadrado \( R \) e o paraboloide, indicando as caixas retangulares que representam as alturas calculadas.