Para determinar o volume do sólido \( S \) limitado pelo paraboloide elíptico \( x^2 + 2y^2 + z = 16 \) e pelos planos \( x = 2 \), \( y = 2 \) e pelos três planos coordenados, siga os passos abaixo: 1. Reescreva a equação do paraboloide: \[ z = 16 - x^2 - 2y^2 \] 2. Determine os limites de integração: - O plano \( x = 2 \) limita o sólido na direção do eixo \( x \). - O plano \( y = 2 \) limita o sólido na direção do eixo \( y \). - Os planos coordenados \( z = 0 \), \( y = 0 \) e \( x = 0 \) também limitam o sólido. 3. Encontre a interseção do paraboloide com os planos: - Para \( x = 2 \): \[ z = 16 - 2^2 - 2y^2 = 16 - 4 - 2y^2 = 12 - 2y^2 \] - Para \( y = 2 \): \[ z = 16 - x^2 - 2(2^2) = 16 - x^2 - 8 = 8 - x^2 \] 4. Determine os limites de \( y \): - Quando \( x = 2 \), substitua na equação do paraboloide: \[ z = 12 - 2y^2 \quad \text{(com } y \text{ variando de } 0 \text{ a } 2\text{)} \] 5. Calcule o volume usando a integral dupla: O volume \( V \) pode ser calculado pela integral dupla: \[ V = \int_0^2 \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy \, dx \] 6. Resolva a integral: - Primeiro, integre em relação a \( y \): \[ \int_0^2 (16 - x^2 - 2y^2) \, dy = [16y - x^2y - \frac{2}{3}y^3]_0^2 = [32 - 2x^2 - \frac{16}{3}] \] - Agora, integre em relação a \( x \): \[ V = \int_0^2 \left(32 - 2x^2 - \frac{16}{3}\right) \, dx \] 7. Calcule a integral final: - Simplifique e resolva a integral: \[ V = \int_0^2 \left(\frac{96}{3} - \frac{16}{3} - 2x^2\right) \, dx = \int_0^2 \left(\frac{80}{3} - 2x^2\right) \, dx \] - Isso resulta em: \[ V = \left[\frac{80}{3}x - \frac{2}{3}x^3\right]_0^2 = \left[\frac{160}{3} - \frac{16}{3}\right] = \frac{144}{3} = 48 \] Portanto, o volume do sólido \( S \) é \( 48 \) unidades cúbicas.