Calcule a integral dupla $\iint_{R}\left(x-3 y^{2}\right) d x d y$, onde $R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,1 \leq y \leq 2\}$.

Para calcular a integral dupla \(\iint_{R}\left(x-3 y^{2}\right) d x d y\) sobre a região \(R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\}\), vamos seguir os passos: 1. Definir a integral: \[ \int_{1}^{2} \int_{0}^{2} (x - 3y^2) \, dx \, dy \] 2. Calcular a integral interna (em relação a \(x\)): \[ \int_{0}^{2} (x - 3y^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3y^2 x\right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} - 3y^2 \cdot 2\right) - \left(0\right) \] \[ = \left(2 - 6y^2\right) \] 3. Agora, calcular a integral externa (em relação a \(y\)): \[ \int_{1}^{2} (2 - 6y^2) \, dy = \left[2y - 2y^3\right]_{1}^{2} \] \[ = \left(2 \cdot 2 - 2 \cdot 2^3\right) - \left(2 \cdot 1 - 2 \cdot 1^3\right) \] \[ = (4 - 16) - (2 - 2) = -12 - 0 = -12 \] Portanto, o resultado da integral dupla é \(-12\).