Calcule a integral dupla $\iint_{R}(2 x+3 y) d x d y$, onde $R=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 2\}$.

Para calcular a integral dupla \(\iint_{R}(2x+3y) \, dx \, dy\) sobre a região \(R = \{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 2\}\), vamos seguir os passos: 1. Definir a integral: \[ \iint_{R}(2x+3y) \, dx \, dy = \int_{0}^{2} \int_{1}^{4} (2x + 3y) \, dx \, dy \] 2. Calcular a integral interna (em relação a \(x\)): \[ \int_{1}^{4} (2x + 3y) \, dx = \left[ x^2 + 3yx \right]_{1}^{4} \] Calculando os limites: \[ = \left[ 4^2 + 3y \cdot 4 \right] - \left[ 1^2 + 3y \cdot 1 \right] \] \[ = \left[ 16 + 12y \right] - \left[ 1 + 3y \right] \] \[ = 15 + 9y \] 3. Agora, calcular a integral externa (em relação a \(y\)): \[ \int_{0}^{2} (15 + 9y) \, dy = \left[ 15y + \frac{9y^2}{2} \right]_{0}^{2} \] Calculando os limites: \[ = \left[ 15 \cdot 2 + \frac{9 \cdot 2^2}{2} \right] - \left[ 15 \cdot 0 + \frac{9 \cdot 0^2}{2} \right] \] \[ = 30 + \frac{9 \cdot 4}{2} \] \[ = 30 + 18 = 48 \] Portanto, o valor da integral dupla é \(48\).