Calcule a integral dupla $\int_{0}^{5} \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} d x d y$.

Para calcular a integral dupla \(\int_{0}^{5} \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} \, dx \, dy\), vamos resolver passo a passo. 1. Calcular a integral interna em relação a \(x\): \[ \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} \, dx \] Aqui, \(y^{3}\) é uma constante em relação a \(x\). Portanto, podemos fatorá-la para fora da integral: \[ y^{3} \int_{0}^{2} x^{2} \, dx \] Agora, calculamos a integral de \(x^{2}\): \[ \int x^{2} \, dx = \frac{x^{3}}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{8}{3} \] Assim, temos: \[ y^{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{3} y^{3} \] 2. Agora, calcular a integral externa em relação a \(y\): \[ \int_{0}^{5} \frac{8}{3} y^{3} \, dy \] Fatoramos \(\frac{8}{3}\) para fora da integral: \[ \frac{8}{3} \int_{0}^{5} y^{3} \, dy \] Calculamos a integral de \(y^{3}\): \[ \int y^{3} \, dy = \frac{y^{4}}{4} \Big|_{0}^{5} = \frac{5^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} = \frac{625}{4} \] Portanto, temos: \[ \frac{8}{3} \cdot \frac{625}{4} = \frac{8 \cdot 625}{12} = \frac{5000}{12} = \frac{1250}{3} \] Assim, o resultado da integral dupla é: \[ \int_{0}^{5} \int_{0}^{2} x^{2} y^{3} \, dx \, dy = \frac{1250}{3} \]