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Qual o jeito mais prático de encontrar a inversa de uma matriz?

Álgebra Linear I

PUC-MINAS


2 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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Há mais de um mês

Não existe um jeito que seja o mais prático de todos, porém um método bastante utilizado é o método da redução linear. Como exemplo, esse método será aplicado na seguinte matriz:

\(\Longrightarrow A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix}\)


Para que a matriz inversa \(A^{-1}\) exista, o determinante de \(A\) deve ser diferente de zero. Ou seja:

\(\Longrightarrow \det A \ne 0\)


Para uma matriz 3x3, a expressão de \(\det A\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \det A= \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}\)    \(\rightarrow \det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\)


Substituindo os termos, o valor de \(\det A\) é:

\(\Longrightarrow \det A = 3\Big [1 \cdot (-2)-1 \cdot 0 \Big ]+0\Big [1 \cdot 2-0 \cdot (-2) \Big ] + 2 \Big [ 0 \cdot 0-1 \cdot 2 \Big ]\)

\(\Longrightarrow \det A = 3\Big [-2 \Big ]+0\Big [2 \Big ] + 2 \Big [ -2 \Big ]\)

\(\Longrightarrow \det A = -6+0-4\)

\(\Longrightarrow \det A=-10 \ne 0\)

Como \(\det A \ne 0\), a matriz \(A^{-1}\) existe.


Agora, para o método da redução linear, a matriz \(A\) será escrita junto à matriz identidade, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & | & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


O objetivo é criar a matriz identidade ao lado esquerdo dessa matriz estendida. Enquanto é feita a redução linear no lado esquerdo, é necessário fazer as mesmas operações no lado direito.


Primeiro, vamos analisar a primeira coluna da matriz.

Deve-se anular o termo \(a_{21}=0\) da linha \((II)\) e o termo \(a_{31}=2\) da linha \((III)\). Como o termo da linha \((II)\) já é zero, resta o da linha \((III)\). Multiplicando a linha \((I)\) por 2 e a linha \((III)\) por 3, as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 6 & 0 & 4 & | & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & -6 & | & 0 & 0 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Realizando a operação \((I)-(III)\), a nova linha \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 6 & 0 & 4 & | & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & | & 2 & 0 & -3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Agora, vamos analisar a segunda coluna da matriz.

Deve-se anular o termo \(a_{12}=0\) da linha \((I)\) e o termo \(a_{32}=0\) da linha \((III)\). Como ambos os termos já são iguais a zero, vamos avançar para a próxima coluna.


Agora, vamos analisar a terceira coluna da matriz.

Deve-se anular o termo \(a_{13}=4\) e o termo \(a_{23}=1\). Multiplicando a linha \((I)\) por 2,5 e a linha \((II)\) por 10, as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 15 & 0 & 10 & | & 5 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 10 & | & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & | & 2 & 0 & -3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Realizando as operações \((I)-(III)\) e \((II)-(III)\), as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 & | & 3 & 0 & 3\\ 0 & 10 & 0 & | & -2 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & | & 2 & 0 & -3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Agora, a linha \((I)\) será dividida por 15, a linha \((II)\) será dividida por 10 e a linha \((III)\) será dividida por 10. Com isso, a nova matriz é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0,2 & 0 & 0,2\\ 0 & 1 & 0 & | & -0,2 & 1 & 0,3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0,2 & 0 & -0,3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Agora que o lado esquerdo da matriz virou uma identidade, tem-se que a matriz inversa é:

\(\Longrightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix}^{-1}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ A^{-1}=\begin{bmatrix} 0,2 & 0 & 0,2 \\ -0,2 & 1 & 0,3 \\ 0,2 & 0 & -0,3 \\ \end{bmatrix} $}\)

Não existe um jeito que seja o mais prático de todos, porém um método bastante utilizado é o método da redução linear. Como exemplo, esse método será aplicado na seguinte matriz:

\(\Longrightarrow A=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix}\)


Para que a matriz inversa \(A^{-1}\) exista, o determinante de \(A\) deve ser diferente de zero. Ou seja:

\(\Longrightarrow \det A \ne 0\)


Para uma matriz 3x3, a expressão de \(\det A\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \det A= \det \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{bmatrix}\)    \(\rightarrow \det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\)


Substituindo os termos, o valor de \(\det A\) é:

\(\Longrightarrow \det A = 3\Big [1 \cdot (-2)-1 \cdot 0 \Big ]+0\Big [1 \cdot 2-0 \cdot (-2) \Big ] + 2 \Big [ 0 \cdot 0-1 \cdot 2 \Big ]\)

\(\Longrightarrow \det A = 3\Big [-2 \Big ]+0\Big [2 \Big ] + 2 \Big [ -2 \Big ]\)

\(\Longrightarrow \det A = -6+0-4\)

\(\Longrightarrow \det A=-10 \ne 0\)

Como \(\det A \ne 0\), a matriz \(A^{-1}\) existe.


Agora, para o método da redução linear, a matriz \(A\) será escrita junto à matriz identidade, conforme apresentado a seguir:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & | & 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


O objetivo é criar a matriz identidade ao lado esquerdo dessa matriz estendida. Enquanto é feita a redução linear no lado esquerdo, é necessário fazer as mesmas operações no lado direito.


Primeiro, vamos analisar a primeira coluna da matriz.

Deve-se anular o termo \(a_{21}=0\) da linha \((II)\) e o termo \(a_{31}=2\) da linha \((III)\). Como o termo da linha \((II)\) já é zero, resta o da linha \((III)\). Multiplicando a linha \((I)\) por 2 e a linha \((III)\) por 3, as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 6 & 0 & 4 & | & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & -6 & | & 0 & 0 & 3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Realizando a operação \((I)-(III)\), a nova linha \((III)\) é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 6 & 0 & 4 & | & 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & | & 2 & 0 & -3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Agora, vamos analisar a segunda coluna da matriz.

Deve-se anular o termo \(a_{12}=0\) da linha \((I)\) e o termo \(a_{32}=0\) da linha \((III)\). Como ambos os termos já são iguais a zero, vamos avançar para a próxima coluna.


Agora, vamos analisar a terceira coluna da matriz.

Deve-se anular o termo \(a_{13}=4\) e o termo \(a_{23}=1\). Multiplicando a linha \((I)\) por 2,5 e a linha \((II)\) por 10, as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 15 & 0 & 10 & | & 5 & 0 & 0\\ 0 & 10 & 10 & | & 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & | & 2 & 0 & -3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Realizando as operações \((I)-(III)\) e \((II)-(III)\), as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 15 & 0 & 0 & | & 3 & 0 & 3\\ 0 & 10 & 0 & | & -2 & 10 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & | & 2 & 0 & -3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Agora, a linha \((I)\) será dividida por 15, a linha \((II)\) será dividida por 10 e a linha \((III)\) será dividida por 10. Com isso, a nova matriz é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0,2 & 0 & 0,2\\ 0 & 1 & 0 & | & -0,2 & 1 & 0,3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0,2 & 0 & -0,3\\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\(III) \end{matrix}\)


Agora que o lado esquerdo da matriz virou uma identidade, tem-se que a matriz inversa é:

\(\Longrightarrow A^{-1}=\begin{bmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ \end{bmatrix}^{-1}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ A^{-1}=\begin{bmatrix} 0,2 & 0 & 0,2 \\ -0,2 & 1 & 0,3 \\ 0,2 & 0 & -0,3 \\ \end{bmatrix} $}\)

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Renata Kelly

Há mais de um mês

Também gostaria muito saber isso... :/

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Alex Enrique

Há mais de um mês

faz uma matriz aumentada [A|I], onde A é a matriz a ser invertida e I é a identidade de ordem igual a matriz A, aí você realiza operações entre linhas até chegar em uma matriz [I|B]. a matriz B=(A)^-1.

Essa pergunta já foi respondida!